№ 12.40 Алгебра = № 26.40 Математика
Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі
$\sqrt{x^{2}-9}+\frac{1}{\sqrt{4+3x-x^{2}}}$
Розв’язок:
$\begin{cases} x^{2}-9\geq0 \\ 4+3x-x^{2}>0 \end{cases}$
Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2}-9\geq0$
$x^{2}\geq9$
$x \in (-\infty;-3\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty)$
Розв’яжемо другу нерівність:
$-x^{2}+3x+4>0$
$x^{2}-3x-4<0$
Корені рівняння $x^{2}-3x-4=0$ дорівнюють $x_{1}=4$, $x_{2}=-1$.
Графік функції $y=4+3x-x^{2}$ — парабола, гілки якої спрямовані вниз:
$x \in (-1;4)$
Перетином множин $\left(-\infty;-3\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty \right)$ і $(-1;4)$ є проміжок $\lbrack 3;4)$.
Отже, ОДЗ виразу є проміжок $\lbrack 3;4)$.
Відповідь:
$\lbrack 3;4)$.