№ 12.41 Алгебра = № 26.41 Математика
Знайдіть область визначення функції
$y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-16}}+\sqrt{8x-x^{2}-15}$
Розв’язок:
Область визначення функції задається системою нерівностей:
$\begin{cases} x^{2}-16>0 \\ 8x-x^{2}-15\geq0 \end{cases}$
Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2}-16>0$
$x^{2}>16$
$x \in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$
Розв’яжемо другу нерівність:
$-x^{2}+8x-15\geq0$
$x^{2}-8x+15\leq0$
Корені рівняння $x^{2}-8x+15=0$ дорівнюють $x_{1}=3$, $x_{2}=5$.
Графік функції $y=x^{2}-8x+15$ — парабола, гілки якої спрямовані вгору:
Отже, $x \in \lbrack 3;5\rbrack$.
Перетином множин $(-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$ і $\lbrack 3;5\rbrack$ є проміжок $(4;5\rbrack$.
Отже, область визначення функції: $(4;5\rbrack$.
Відповідь:
$(4;5\rbrack$.