№ 12.42 Алгебра = № 26.42 Математика
За яких значень $a$ не має коренів рівняння:
1) $x^{2}-(a-2)x+4=0$
2) $(a+1)x^{2}+5ax+3a=0$
Розв’язок:
1) $x^{2}-(a-2)x+4=0$.
Квадратне рівняння не має коренів, якщо дискримінант рівняння менше від нуля.
$D=(-(a-2))^{2}-4\cdot4=$
$=a^{2}-4a-12$
$a^{2}-4a-12<0$
Знайдемо корені рівняння $a^{2}-4a-12=0$:
$a_{1}=6$, $a_{2}=-2$.
Отже, $-2<a<6$.
2) $(a+1)x^{2}+5ax+3a=0$.
Квадратне рівняння не має коренів, якщо $D<0$ та $a\neq-1$ (щоб рівняння залишалося квадратним).
$D=(5a)^{2}-4(a+1)\cdot3a=$
$=25a^{2}-12a^{2}-12a=$
$=13a^{2}-12a$
$13a^{2}-12a<0$
$a(13a-12)<0$
Розв’язком нерівності є проміжок:
$a \in \left( 0;\frac{12}{13} \right)$
Оскільки цей проміжок не містить значення $a=-1$, то відповідь залишається без змін.
Відповідь:
1) $-2<a<6$;
2) $0<a<\frac{12}{13}$.