№ 12.42 Алгебра = № 26.42 Математика
За яких значень $a$ не має коренів рівняння:
1) $x^{2}-(a-2)x+4=0$
2) $(a+1)x^{2}+5ax+3a=0$
Розв’язок:
1) $x^{2}-(a-2)x+4=0$.
Квадратне рівняння не має коренів, якщо $D<0$.
$D=\left(-(a-2) \right)^{2}-4\cdot4=$
$=a^{2}-4a+4-16=$
$=a^{2}-4a-12.$
Розв’яжемо нерівність $a^{2}-4a-12<0$.
$a^{2}-4a-12=0$; $a_{1}=-2$, $a_{2}=6$.
Графік функції $y=a^{2}-4a-12$ — парабола, гілки якої спрямовані вгору. Зобразимо його схематично:
Отже, рівняння не має коренів, якщо $-2<a<6$.
2) $(a+1)x^{2}+5ax+3a=0$.
Якщо $a=-1$, то рівняння набуває вигляду
$-5x-3=0$ і має корінь $x=-0{,}6$.
Якщо $a\neq-1$, то рівняння квадратне; воно не має коренів, коли $D<0$.
$D=(5a)^{2}-4(a+1)\cdot3a=$
$=25a^{2}-12a^{2}-12a=$
$=13a^{2}-12a.$
Розв’яжемо нерівність $13a^{2}-12a<0$.
$13a^{2}-12a=0$; $a(13a-12)=0$;
$a_{1}=0$, $a_{2}=\frac{12}{13}$.
Графік функції $y=13a^{2}-12a$ — парабола, гілки якої спрямовані вгору. Зобразимо його схематично:
Отже, рівняння не має коренів, якщо $0<a<\frac{12}{13}$.
Відповідь:
1) $-2<a<6$;
2) $0<a<\frac{12}{13}$.