№ 12.43 Алгебра = № 26.43 Математика
За яких значень $a$ рівняння має два різних корені:
1) $x^{2}-ax+(2a-3)=0$
2) $ax^{2}+(3a-2)x+a=0$
Розв’язок:
1) $x^{2}-ax+(2a-3)=0$
$D=a^{2}-4(2a-3)=$
$=a^{2}-8a+12>0$
Корені рівняння $a^{2}-8a+12=0$ дорівнюють $a_{1}=2$, $a_{2}=6$.
Рівняння має два різних корені, якщо $D>0$.
Отже, $a<2$ або $a>6$.
Відповідь:
$a<2$ або $a>6$.
2) $ax^{2}+(3a-2)x+a=0$
$D=(3a-2)^{2}-4\cdot a\cdot a=$
$=9a^{2}-12a+4-4a^{2}=$
$=5a^{2}-12a+4>0$
Корені рівняння $5a^{2}-12a+4=0$:
$D_{1}=144-4\cdot5\cdot4=64$
$a_{1}=\frac{12+8}{10}=\frac{20}{10}=2$
$a_{2}=\frac{12-8}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
Рівняння має два різних корені, якщо $a\neq0$ (оскільки при $a=0$ рівняння стає лінійним) та $D>0$.
Отже, $a<0$, або $0<a<\frac{2}{5}$, або $a>2$.
Відповідь:
$a \in (-\infty;0) \cup (0;\frac{2}{5}) \cup (2;+\infty)$.