№ 12.43 Алгебра = № 26.43 Математика
За яких значень $a$ рівняння має два різних корені:
1) $x^{2}-ax+(2a-3)=0$
2) $ax^{2}+(3a-2)x+a=0$
Розв’язок:
1) $x^{2}-ax+(2a-3)=0$
Рівняння має два різних корені, якщо $D>0$.
$D=(-a)^{2}-4\cdot1\cdot(2a-3)=$
$=a^{2}-8a+12.$
Розв’яжемо нерівність $a^{2}-8a+12>0$.
$a^{2}-8a+12=0$; $a_{1}=2$, $a_{2}=6$.
Графік функції $y=a^{2}-8a+12$ — парабола, гілки якої спрямовані вгору. Зобразимо його схематично:
Отже, рівняння має два різних корені, якщо $a<2$ або $a>6$.
2) $ax^{2}+(3a-2)x+a=0$
Якщо $a=0$, то рівняння набуває вигляду
$-2x=0$ і має лише один корінь.
Якщо $a\neq0$, то рівняння квадратне; воно має два різних корені, коли $D>0$.
$D=(3a-2)^{2}-4\cdot a\cdot a=$
$=9a^{2}-12a+4-4a^{2}=$
$=5a^{2}-12a+4.$
Розв’яжемо нерівність $5a^{2}-12a+4>0$.
$5a^{2}-12a+4=0$;
$D_{1}=(-12)^{2}-4\cdot5\cdot4=64;$
$a_{1}=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5};$
$a_{2}=\frac{12+8}{10}=2.$
Графік функції $y=5a^{2}-12a+4$ — парабола, гілки якої спрямовані вгору. Зобразимо його схематично:
Отже, $D>0$, якщо $a<\frac{2}{5}$ або $a>2$. Урахуємо, що $a\neq0$:
Отже, рівняння має два різних корені, якщо $a<0$, або $0<a<\frac{2}{5}$, або $a>2$.
Відповідь:
1) $a<2$ або $a>6$;
2) $a<0$, або $0<a<\frac{2}{5}$, або $a>2$.