№ 12.44 Алгебра = № 26.44 Математика
За яких значень $a$ рівняння:
1) $x^{2}-(a+1)x+9=0$ не має коренів;
2) $ax^{2}+(2a-1)x+a=0$ має два різних корені?
Розв’язок:
1) Рівняння не має коренів, якщо $D<0$.
$D=\left(-(a+1) \right)^{2}-4\cdot9=$
$=a^{2}+2a+1-36=$
$=a^{2}+2a-35.$
Розв’яжемо нерівність $a^{2}+2a-35<0$.
$a^{2}+2a-35=0$; $a_{1}=-7$, $a_{2}=5$.
Графік функції $y=a^{2}+2a-35$ — парабола, гілки якої спрямовані вгору. Зобразимо його схематично:
Отже, рівняння не має коренів, якщо $-7<a<5$.
2) Якщо $a=0$, то рівняння набуває вигляду
$-x=0$ і має лише один корінь.
Якщо $a\neq0$, то рівняння квадратне; воно має два різних корені, коли $D>0$.
$D=(2a-1)^{2}-4\cdot a\cdot a=$
$=4a^{2}-4a+1-4a^{2}=$
$=-4a+1$.
Розв’яжемо нерівність $D>0$:
$-4a+1>0$
$-4a>-1$
$a<\frac{1}{4}$.
Урахуємо, що $a\neq0$:
Отже, рівняння має два різних корені, якщо $a<0$ або $0<a<\frac{1}{4}$.
Відповідь:
1) $-7<a<5$;
2) $a<0$ або $0<a<\frac{1}{4}$.