№ 12.44 Алгебра = № 26.44 Математика
За яких значень $a$ рівняння:
1) $x^{2}-(a+1)x+9=0$ не має коренів;
2) $ax^{2}+(2a-1)x+a=0$ має два різних корені?
Розв’язок:
1) $x^{2}-(a+1)x+9=0$.
Рівняння не має коренів, якщо $D<0$.
$D=(-(a+1))^{2}-4\cdot9=$
$=a^{2}+2a+1-36=$
$=a^{2}+2a-35=0$, $a_{1}=-7$, $a_{2}=5$.
$-7<a<5$.
Отже, рівняння не має коренів, якщо $-7<a<5$.
2) $ax^{2}+(2a-1)x+a=0$.
Рівняння має два різних корені, якщо $D>0$, $a\neq0$.
$D=(2a-1)^{2}-4\cdot a\cdot a=$
$=4a^{2}-4a+1-4a^{2}=$
$=-4a+1$.
Розв’яжемо нерівність $D>0$:
$-4a+1>0$
$-4a>-1$
$a<\frac{1}{4}$.
Враховуючи умову $a\neq0$, маємо $a<0$ або $0<a<\frac{1}{4}$.
Отже, рівняння має два різних корені, якщо $a<0$ або $0<a<\frac{1}{4}$.