№ 12.45 Алгебра = № 26.45 Математика
За яких значень $m$ розв’язком нерівності є будь-яке число:
1) $x^{2}-(m+2)x+(8m+1)>0$;
2) $mx^{2}-4x+m+3<0$?
Розв’язок:
1) $x^{2}-(m+2)x+(8m+1)>0$.
Розв’яжемо рівняння $x^{2}-(m+2)x+(8m+1)=0$.
Дискримінант:
$D=(m+2)^{2}-4(8m+1)=$
$=m^{2}+4m+4-32m-4=$
$=m^{2}-28m$.
Нерівність виконується для будь-якого $x$, якщо $D<0$:
$m^{2}-28m<0$
$m(m-28)<0$
$0<m<28$.
2) $mx^{2}-4x+m+3<0$.
Якщо $m=0$, нерівність набуває вигляду $-4x+3<0$, що не виконується для всіх $x$.
Якщо $m\neq0$, нерівність виконується для будь-якого $x$, якщо $m<0$ та $D<0$:
$D=(-4)^{2}-4m(m+3)=$
$=16-4m^{2}-12m=$
$=-4(m^{2}+3m-4)$.
Умова $D<0$:
$-4(m^{2}+3m-4)<0$
$m^{2}+3m-4>0$
$(m+4)(m-1)>0$
$m<-4$ або $m>1$.
Враховуючи умову $m<0$, отримуємо $m<-4$.
Відповідь:
1) $0<m<28$;
2) $m<-4$.