№ 13.10 Алгебра = № 27.10 Математика
Знайдіть розв’язки системи рівнянь:
1)
$\begin{cases} y-x=2 \\ xy=8 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x-y=1 \\ x^{2}+y^{2}=5 \end{cases}$
3)
$\begin{cases} x+y=2 \\ y^{2}-x^{2}=4 \end{cases}$
4)
$\begin{cases} y-3x=1 \\ x^{2}+y^{2}=53 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} y-x=2 \\ xy=8 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+2 \\ x(x+2)=8 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+2 \\ x(x+2)-8=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+2 \\ x^{2}+2x-8=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+2 \\ x_{1}=-4,x_{2}=2 \end{cases}$
$x=-4$; $y=-4+2=-2$ або $x=2$; $y=4$.
$(-4;-2)$ і $(2;4)$ — розв’язки системи.
2)
$\begin{cases} x-y=1 \\ x^{2}+y^{2}=5 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-1 \\ x^{2}+(x-1)^{2}=5 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-1 \\ x^{2}+x^{2}-2x+1-5=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-1 \\ 2x^{2}-2x-4=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-1 \\ x_{1}=2,x_{2}=-1 \end{cases}$
$x=2$; $y=2-1=1$ або $x=-1$; $y=-1-1=-2$.
$(2;1)$ і $(-1;-2)$ — розв’язки системи.
3)
$\begin{cases} x+y=2 \\ y^{2}-x^{2}=4 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2-x \\ (2-x)^{2}-x^{2}=4 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2-x \\ 4-4x+x^{2}-x^{2}=4 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2-x \\-4x=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2-x \\ x=0 \end{cases}$
$x=0$; $y=2-0=2$.
$(0;2)$ — розв’язок системи.
4)
$\begin{cases} y-3x=1 \\ x^{2}+y^{2}=53 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3x+1 \\ x^{2}+(3x+1)^{2}=53 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3x+1 \\ x^{2}+9x^{2}+6x+1-53=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3x+1 \\ 5x^{2}+3x-26=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3x+1 \\ x_{1}=2,x_{2}=-\frac{13}{5} \end{cases}$
$x=2$; $y=3\cdot2+1=7$ або $x=-\frac{13}{5}$;
$y=3\cdot\left(-\frac{13}{5} \right)+1=$
$=-\frac{39}{5}+\frac{5}{5}=-\frac{34}{5}$.
$(2;7)$ і $(-\frac{13}{5};-\frac{34}{5})$ — розв’язки системи.