№ 13.9 Алгебра = № 27.9 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} y-x=1 \\ xy=12 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x-y=1 \\ x^{2}+y^{2}=25 \end{cases}$
3)
$\begin{cases} x+y=3 \\ x^{2}-y^{2}=3 \end{cases}$
4)
$\begin{cases} y+2x=3 \\ x^{2}+y^{2}=5 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} y-x=1 \\ xy=12 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+1 \\ x(x+1)=12 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+1 \\ x^{2}+x-12=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x+1 \\ x_{1}=-4,x_{2}=3 \end{cases}$
$x=-4$; $y=1-4=-3$ або $x=3$; $y=1+3=4$.
$(-4;-3)$ і $(3;4)$ — розв’язки системи рівнянь.
2)
$\begin{cases} x-y=1 \\ x^{2}+y^{2}=25 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1+y \\ (1+y)^{2}+y^{2}-25=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1+y \\ 1+2y+y^{2}+y^{2}-25=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1+y \\ 2y^{2}+2y-24=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1+y \\ y^{2}+y-12=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1+y \\ y_{1}=-4,y_{2}=3 \end{cases}$
$y=-4$; $x=-3$ або $y=3$; $x=4$.
$(-3;-4)$ і $(4;3)$ — розв’язки системи рівнянь.
3)
$\begin{cases} x+y=3 \\ x^{2}-y^{2}=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=3 \\ (x-y)(x+y)=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=3 \\ 3(x-y)=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x=3-y \\ 3-y-y=1 \end{cases}$
$\begin{cases} x=3-y \\ 2=2y \end{cases}$
$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
$(2;1)$ — розв’язок системи.
4)
$\begin{cases} y+2x=3 \\ x^{2}+y^{2}=5 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-2x \\ x^{2}+(3-2x)^{2}=5 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-2x \\ x^{2}+9-12x+4x^{2}-5=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-2x \\ 5x^{2}-12x+4=0 \end{cases}$
Корені рівняння $5x^{2}-12x+4=0$: $x_{1}=2$, $x_{2}=0{,}4$.
Якщо $x_{1}=2$, то $y_{1}=3-2\cdot2=-1$.
Якщо $x_{2}=0{,}4$, то $y_{2}=3-2\cdot0{,}4=2{,}2$.
$(2;-1)$ і $(0{,}4;2{,}2)$ — розв’язки системи.