№ 13.13 Алгебра = № 27.13 Математика
1) Розв’яжіть систему рівнянь $\begin{cases} x+y=5 \\ x^{2}+y=7 \end{cases}$ трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання.
2) Який спосіб вам сподобався найбільше?
3) Нехай $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $\frac{x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}}{2}$, відтак дізнаєтеся, скільки медалей здобув українець Андрій Трусов на літніх Паралімпійських іграх 2024 року.
Розв’язок:
1) Графічний спосіб:
Виразимо з кожного рівняння змінну $y$:
$\begin{cases} y=5-x, \\ y=7-x^{2}. \end{cases}$
Побудуємо в одній системі координат графіки цих рівнянь — пряму і параболу.
Графіки мають дві спільні точки: $(-1;6)$ і $(2;3)$. Перевіркою впевнюємося, що ці пари чисел є розв’язками системи.
Спосіб підстановки:
З першого рівняння $y=5-x$. Підставимо у друге:
$x^{2}+5-x=7$
$x^{2}-x-2=0$
За теоремою, оберненою до теореми Вієта:
$x_{1}=2$, $x_{2}=-1$.
Якщо $x_{1}=2$, то $y_{1}=5-2=3$.
Якщо $x_{2}=-1$, то $y_{2}=5-(-1)=6$.
Спосіб додавання:
Віднімемо від другого рівняння перше:
$(x^{2}+y)-(x+y)=7-5$
$x^{2}-x=2$
$x^{2}-x-2=0$
Далі аналогічно способу підстановки отримуємо пари $(2;3)$ та $(-1;6)$.
2) Найбільш раціональним є спосіб підстановки, оскільки він дозволяє швидко виразити одну змінну через іншу.
3) Маємо пари розв’язків $(x_{1};y_{1})=(2;3)$ та $(x_{2};y_{2})=(-1;6)$.
Обчислимо значення виразу:
$\frac{x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}}{2}=$
$=\frac{2+3+(-1)+6}{2}=$
$=\frac{10}{2}=5$
Андрій Трусов здобув 5 медалей.
Відповідь:
1) $(-1;6)$, $(2;3)$; 3) 5 медалей.