№ 13.14 Алгебра = № 27.14 Математика
1) Розв’яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} y-x=8 \\ x^{2}-y=-2 \end{cases}$
трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання.
2) Який спосіб вам сподобався найбільше?
3) Нехай $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+8$, відтак дізнаєтеся, у якому віці українська біофізикиня Ольга Броварець стала докторкою наук.
Розв’язок:
1) Розв’яжемо систему:
$\begin{cases} y=x+8 \\ x^{2}-y=-2 \end{cases}$
Підставимо $y=x+8$ у друге рівняння:
$x^{2}-(x+8)=-2$
$x^{2}-x-8+2=0$
$x^{2}-x-6=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}+x_{2}=1$, $x_{1}\cdot x_{2}=-6$.
Корені: $x_{1}=3$, $x_{2}=-2$.
Знайдемо відповідні $y$:
Якщо $x_{1}=3$, то $y_{1}=3+8=11$.
Якщо $x_{2}=-2$, то $y_{2}=-2+8=6$.
Розв’язки системи: $(3;11)$ та $(-2;6)$.
Спосіб додавання:
$\begin{cases} y-x=8 \\-y+x^{2}=-2 \end{cases}$
Додамо рівняння:
$x^{2}-x=6$
$x^{2}-x-6=0$
Далі аналогічно до способу підстановки.
2) Найбільш раціональним є спосіб підстановки або додавання, оскільки вони дають точний алгебраїчний результат.
3) Обчислимо значення виразу $x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+8$:
$3\cdot11+(-2)\cdot6+8=$
$=33-12+8=29$
Ольга Броварець стала докторкою наук у 29 років.
Відповідь:
1) $(3;11)$, $(-2;6)$.
3) $29$.