№ 13.14 Алгебра = № 27.14 Математика
1) Розв’яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} y-x=8 \\ x^{2}-y=-2 \end{cases}$
трьома способами: графічним, способом підстановки і способом додавання.
2) Який спосіб вам сподобався найбільше?
3) Нехай $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$ — пари розв’язків системи. Знайдіть значення виразу $x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+8$, відтак дізнаєтеся, у якому віці українська біофізикиня Ольга Броварець стала докторкою наук.
Розв’язок:
1) Графічний спосіб:
Запишемо рівняння системи у вигляді, зручному для побудови графіків:
$\begin{cases} y=x+8 \\ y=x^{2}+2 \end{cases}$
Графіком першого рівняння є пряма, графіком другого — парабола з вершиною $(0;2)$, гілки якої спрямовані вгору. Побудуємо їх в одній системі координат.
Графіки мають дві спільні точки: $(-2;6)$ і $(3;11)$. Перевіркою впевнюємося, що ці пари чисел є розв’язками системи.
Спосіб підстановки:
З першого рівняння $y=x+8$. Підставимо цей вираз у друге рівняння:
$x^{2}-(x+8)=-2$
$x^{2}-x-8+2=0$
$x^{2}-x-6=0$
За теоремою, оберненою до теореми Вієта:
$x_{1}=3$, $x_{2}=-2$.
Якщо $x_{1}=3$, то $y_{1}=3+8=11$.
Якщо $x_{2}=-2$, то $y_{2}=-2+8=6$.
Спосіб додавання:
$\begin{cases} y-x=8 \\-y+x^{2}=-2 \end{cases}$
Додамо рівняння:
$x^{2}-x=6$
$x^{2}-x-6=0$
Звідси $x_{1}=3$, $x_{2}=-2$.
З першого рівняння $y=x+8$:
$y_{1}=3+8=11$, $y_{2}=-2+8=6$.
2) Найбільш раціональним є спосіб підстановки або додавання, оскільки вони дають точний алгебраїчний результат.
3) Обчислимо $x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+8$:
$3\cdot11+(-2)\cdot6+8=$
$=33-12+8=29$
Ольга Броварець стала докторкою наук у 29 років.
Відповідь:
1) $(3;11)$, $(-2;6)$; 3) $29$ років.