№ 13.18 Алгебра = № 27.18 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} 4y^{2}+xy=22 \\ x+5y=13 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=25 \\ x+\frac{y}{2}=5 \end{cases}$
3)
$\begin{cases} x+2y=6 \\ x^{2}+xy+y^{2}=12 \end{cases}$
4)
$\begin{cases} x-y=1 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12} \end{cases}$
Розв’язок:
1) З другого рівняння $x=13-5y$. Підставимо в перше:
$4y^{2}+(13-5y)y=22$
$4y^{2}+13y-5y^{2}=22$
$-y^{2}+13y-22=0$
$y^{2}-13y+22=0$
За теоремою Вієта $y_{1}=2$, $y_{2}=11$.
Якщо $y=2$, то $x=13-5\cdot2=3$.
Якщо $y=11$, то $x=13-5\cdot11=-42$.
Відповідь: $(3;2)$, $(-42;11)$.
2) З другого рівняння $x=5-0{,}5y$. Підставимо в перше:
$(5-0{,}5y)^{2}+y^{2}=25$
$25-5y+0{,}25y^{2}+y^{2}=25$
$1{,}25y^{2}-5y=0$
$1{,}25y(y-4)=0$
$y_{1}=0$, $y_{2}=4$.
Якщо $y=0$, то $x=5$.
Якщо $y=4$, то $x=5-0{,}5\cdot4=3$.
Відповідь: $(5;0)$, $(3;4)$.
3) З першого рівняння $x=6-2y$. Підставимо в друге:
$(6-2y)^{2}+(6-2y)y+y^{2}=12$
$36-24y+4y^{2}+6y-2y^{2}+y^{2}=12$
$3y^{2}-18y+24=0$
$y^{2}-6y+8=0$
$y_{1}=2$, $y_{2}=4$.
Якщо $y=2$, то $x=6-2\cdot2=2$.
Якщо $y=4$, то $x=6-2\cdot4=-2$.
Відповідь: $(2;2)$, $(-2;4)$.
4) З першого рівняння $x=y+1$. Підставимо в друге:
$\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}$
$\frac{y+y+1}{y(y+1)}=\frac{7}{12}$
$12(2y+1)=7(y^{2}+y)$
$24y+12=7y^{2}+7y$
$7y^{2}-17y-12=0$
$D=289-4\cdot7\cdot(-12)=$
$=289+336=625=25^{2}$
$y_{1}=\frac{17+25}{14}=3$, $y_{2}=\frac{17-25}{14}=-\frac{8}{14}=-\frac{4}{7}$.
Якщо $y=3$, то $x=4$.
Якщо $y=-\frac{4}{7}$, то $x=-\frac{4}{7}+1=\frac{3}{7}$.
Відповідь: $(4;3)$, $(\frac{3}{7};-\frac{4}{7})$.