№ 13.19 Алгебра = № 27.19 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} 3y^{2}-xy=2 \\ x-2y=1 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=13 \\ \frac{x}{3}+y=3 \end{cases}$
3)
$\begin{cases} x+2y=1 \\ x^{2}-xy-y^{2}=11 \end{cases}$
4)
$\begin{cases} x+y=5 \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} 3y^{2}-xy=2 \\ x-2y=1 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2y+1 \\ 3y^{2}-(2y+1)y=2 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2y+1 \\ 3y^{2}-2y^{2}-y=2 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2y+1 \\ y^{2}-y-2=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2y+1 \\ y_{1}=2,y_{2}=-1 \end{cases}$
$y=2$; $x=1+2\cdot2=5$ або $y=-1$; $x=1+2\cdot(-1)=-1$.
Отже, $(5;2)$, $(-1;-1)$ — розв’язки системи.
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=13 \\ \frac{x}{3}+y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x=9-3y \\ (9-3y)^{2}+y^{2}=13 \end{cases}$
$\begin{cases} x=9-3y \\ 5y^{2}-27y+34=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=9-3y \\ y_{1}=2,y_{2}=\frac{17}{5} \end{cases}$
$y=2$; $x=9-3\cdot2=3$ або $y=3{,}4$; $x=9-10{,}2=-1{,}2$.
Отже, $(3;2)$, $(-1{,}2;3{,}4)$ — розв’язки системи.
3)
$\begin{cases} x+2y=1 \\ x^{2}-xy-y^{2}=11 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1-2y \\ (1-2y)^{2}-(1-2y)y-y^{2}=11 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1-2y \\ y^{2}-y-2=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1-2y \\ y_{1}=2,y_{2}=-1 \end{cases}$
$y=2$; $x=1-2\cdot2=-3$ або $y=-1$; $x=1-2\cdot(-1)=3$.
Отже, $(-3;2)$, $(3;-1)$ — розв’язки системи.
4)
$\begin{cases} x+y=5 \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} y=5-x \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{5-x}=\frac{1}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} y=5-x \\ x^{2}-17x+30=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=5-x \\ x_{1}=15,x_{2}=2 \end{cases}$
$x=15$; $y=5-15=-10$ або $x=2$; $y=5-2=3$.
Отже, $(15;-10)$ і $(2;3)$ — розв’язки системи.