№ 13.20 Алгебра = № 27.20 Математика
Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину:
1) прямої $x+y=5$ і параболи $y=x^{2}-7$;
2) кола $x^{2}+y^{2}=34$ і гіперболи $xy=15$.
Розв’язок:
1) $x+y=5$; $y=5-x$, тоді $5-x=x^{2}-7$; $x^{2}+x-12=0$; $x_{1}=-4$, $x_{2}=3$.
Якщо $x=-4$, тоді $y=5-(-4)=9$.
Якщо $x=3$, тоді $y=5-3=2$.
Отже, $(-4;9)$, $(3;2)$ — точки перетину прямої $x+y=5$ і параболи $y=x^{2}-7$.
2) $xy=15$; $x=\frac{15}{y}$, тоді $\left( \frac{15}{y} \right)^{2}+y^{2}=34$;
$\frac{225}{y^{2}}+y^{2}=34$;
$225+y^{4}=34y^{2}$;
$y^{4}-34y^{2}+225=0$.
Нехай $y^{2}=t$, тоді $t^{2}-34t+225=0$;
$t_{1}=9$, $t_{2}=25$.
$y^{2}=9$; $y=\pm3$ або $y^{2}=25$; $y=\pm5$.
Якщо $y=3$, тоді $x=\frac{15}{3}=5$.
Якщо $y=-3$, тоді $x=\frac{15}{-3}=-5$.
Якщо $y=5$, тоді $x=\frac{15}{5}=3$.
Якщо $y=-5$, тоді $x=\frac{15}{-5}=-3$.
Отже, $(5;3)$, $(-5;-3)$, $(3;5)$, $(-3;-5)$ — координати точок перетину кола $x^{2}+y^{2}=34$ і гіперболи $xy=15$.