№ 13.21 Алгебра = № 27.21 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} x+xy=5 \\ x-xy=2 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=29 \\ x^{2}-y^{2}=-21 \end{cases}$
3)
$\begin{cases} 2y^{2}+xy=36 \\ y^{2}+xy=20 \end{cases}$
4)
$\begin{cases} x^{2}-xy=-4 \\ 3x^{2}-2xy=-7 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} x+xy=5 \\ x-xy=2 \end{cases}$
Додамо рівняння:
$2x=7$
$x=3{,}5$
Підставимо $x=3{,}5$ у перше рівняння:
$3{,}5+3{,}5y=5$
$3{,}5y=1{,}5$
$y=\frac{1{,}5}{3{,}5}=\frac{3}{7}$
Отже, $(3{,}5;\frac{3}{7})$ — розв’язок системи.
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=29 \\ x^{2}-y^{2}=-21 \end{cases}$
Додамо рівняння:
$2x^{2}=8$
$x^{2}=4$
$x=\pm2$
Якщо $x=-2$, тоді $4+y^{2}=29$; $y^{2}=25$; $y=\pm5$.
Якщо $x=2$, тоді $4+y^{2}=29$; $y^{2}=25$; $y=\pm5$.
Отже, $(2;5)$, $(2;-5)$, $(-2;5)$, $(-2;-5)$ — розв’язки системи.
3)
$\begin{cases} 2y^{2}+xy=36 \\ y^{2}+xy=20 \end{cases}$
Віднімемо від першого рівняння друге:
$y^{2}=16$
$y=\pm4$
Якщо $y=4$, тоді $2\cdot16+4x=36$; $4x=4$; $x=1$.
Якщо $y=-4$, тоді $2\cdot16-4x=36$; $4x=-4$; $x=-1$.
Отже, $(1;4)$, $(-1;-4)$ — розв’язки системи.
4)
$\begin{cases} x^{2}-xy=-4 \\ 3x^{2}-2xy=-7 \end{cases}$
Помножимо перше рівняння на $2$:
$\begin{cases} 2x^{2}-2xy=-8 \\ 3x^{2}-2xy=-7 \end{cases}$
Віднімемо від другого рівняння перше:
$x^{2}=1$
$x=\pm1$
Якщо $x=-1$, тоді $(-1)^{2}-(-1)y=-4$; $1+y=-4$; $y=-5$.
Якщо $x=1$, тоді $1^{2}-1\cdot y=-4$; $1-y=-4$; $y=5$.
Отже, $(1;5)$, $(-1;-5)$ — розв’язки системи.