№ 13.23 Алгебра = № 27.23 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} 2xy-x=10 \\ 2xy-y=9 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} 2x-xy-y=13 \\ x+xy-2y=2 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} 2xy-x=10 \\ 2xy-y=9 \end{cases}$
Віднімемо від першого рівняння друге:
$-x+y=1$
$y=x+1$
Підставимо у перше рівняння:
$2x(x+1)-x=10$
$2x^{2}+2x-x-10=0$
$2x^{2}+x-10=0$
$D=1+80=81$
$x_{1}=\frac{-1+9}{4}=2$
$x_{2}=\frac{-1-9}{4}=-2{,}5$
Якщо $x=2$, то $y=2+1=3$.
Якщо $x=-2{,}5$, то $y=-2{,}5+1=-1{,}5$.
Отже, $(2;3)$ і $(-2{,}5;-1{,}5)$ — розв’язки системи.
2)
$\begin{cases} 2x-xy-y=13 \\ x+xy-2y=2 \end{cases}$
Додамо рівняння:
$3x-3y=15$
$x-y=5$
$y=x-5$
Підставимо у друге рівняння:
$x+x(x-5)-2(x-5)=2$
$x+x^{2}-5x-2x+10-2=0$
$x^{2}-6x+8=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}=4$, $x_{2}=2$.
Якщо $x=4$, то $y=4-5=-1$.
Якщо $x=2$, то $y=2-5=-3$.
Отже, $(4;-1)$, $(2;-3)$ — розв’язки системи.