№ 13.25 Алгебра = № 27.25 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} x+y+xy=5, \\ xy(x+y)=6; \end{cases}$
2)
$\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6}, \\ x-y=1; \end{cases}$
3)
$\begin{cases} (x+y)^{2}-2(x+y)+1=0, \\ (x-y)^{2}+3(x-y)-4=0; \end{cases}$
4)
$\begin{cases} \frac{x-2y}{x+y}+\frac{x+y}{x-2y}=\frac{15}{4}, \\ 4x+5y=3. \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} x+y+xy=5, \\ xy(x+y)=6. \end{cases}$
Введемо заміну:
$x+y=t$, $xy=v$, тоді маємо:
$\begin{cases} t+v=5, \\ vt=6; \end{cases}$
$t=5-v$; $v(5-v)=6$; $5v-v^{2}=6$; $v^{2}-5v+6=0$; $v_{1}=3$, $v_{2}=2$.
$t_{1}=5-3=2$; $t_{2}=5-2=3$.
Якщо $v=3$, $t=2$, маємо:
$\begin{cases} x+y=2, \\ xy=3; \end{cases}$
$\begin{cases} x=2-y, \\ y(2-y)=3; \end{cases}$
$\begin{cases} x=2-y, \\ 2y-y^{2}=3; \end{cases}$
$\begin{cases} x=2-y, \\ y^{2}-2y+3=0; \end{cases}$
$y_{1}=3$; $y_{2}=-1$; $x_{1}=2-3=-1$; $x_{2}=2-(-1)=3$.
$(-1;3)$ і $(3;-1)$ не є розв’язками системи.
Якщо $v=2$, $t=3$, маємо:
$\begin{cases} x+y=3, \\ xy=2; \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-x, \\ x(3-x)=2; \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-x, \\ x^{2}-3x+2=0; \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-x, \\ x_{1}=2,x_{2}=1. \end{cases}$
Якщо $x=2$, $y=3-2=1$.
Якщо $x=1$, $y=3-1=2$.
Отже, $(2;1)$ і $(1;2)$ — розв’язки системи.
2)
$\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6}, \\ x-y=1; \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{x^{2}+y^{2}-2xy+2xy}{xy}=\frac{13}{6}, \\ x-y=1; \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{(x-y)^{2}+2xy}{xy}=\frac{13}{6}, \\ x-y=1. \end{cases}$
Уведемо заміну: $x-y=t$, $xy=v$, тоді маємо:
$\begin{cases} \frac{t^{2}+2v}{v}=\frac{13}{6}, \\ t=1; \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{1+2v}{v}=\frac{13}{6}, \\ t=1; \end{cases}$
$v=6$, $t=1$.
$\begin{cases} x-y=1 \Rightarrow x=1+y, \\ xy=6; \end{cases}$
$((1+y)y=6$; $y^{2}+y-6=0$;
$y_{1}=-3$, $y_{2}=2$.
Якщо $y=-3$, $x=1-3=-2$.
Якщо $y=2$, $x=1+2=3$.
Отже, $(-2;-3)$ і $(3;2)$ — розв’язки системи.
3)
$\begin{cases} (x+y)^{2}-2(x+y)+1=0, \\ (x-y)^{2}+3(x-y)-4=0. \end{cases}$
Уведемо заміну: $x+y=t$, $x-y=v$.
$t^{2}-2t+1=0$; $(t-1)^{2}=0$; $t_{1}=t_{2}=1$;
$v^{2}+3v-4=0$; $v_{1}=1$, $v_{2}=-4$.
$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=1 \end{cases}$
або
$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=-4; \end{cases}$
$2x=2$; $x=1$; $y=1-1=0$;
або $2x=-3$; $x=-1{,}5$; $y=1-(-1{,}5)=2{,}5$.
Отже, $(1;0)$ і $(-1{,}5;2{,}5)$ — розв’язки системи.
4)
$\begin{cases} \frac{x-2y}{x+y}+\frac{x+y}{x-2y}=\frac{15}{4}, \\ 4x+5y=3. \end{cases}$
Уведемо заміну: $\frac{x-2y}{x+y}=t$, тоді $\frac{x+y}{x-2y}=\frac{1}{t}$.
Тоді маємо: $t+\frac{1}{t}=\frac{15}{4}$; $4t^{2}-15t+4=0$;
$D=15^{2}-4\cdot4\cdot(-4)=$
$=225+64=289$;
$t_{1}=\frac{15+17}{8}=4$; $t_{2}=\frac{15-17}{8}=-\frac{1}{4}$.
Якщо $t=4$:
$\begin{cases} \frac{x-2y}{x+y}=4, \\ 4x+5y=3; \end{cases}$
$x-2y=4x+4y \Rightarrow 3x=$
$=-6y \Rightarrow x=-2y$.
$4(-2y)+5y=3 \Rightarrow-8y+5y=$
$=3 \Rightarrow-3y=3 \Rightarrow y=-1$;
$x=-2(-1)=2$.
Якщо $t=-\frac{1}{4}$:
$\begin{cases} \frac{x-2y}{x+y}=-\frac{1}{4}, \\ 4x+5y=3; \end{cases}$
$4x-8y=-x-y \Rightarrow 5x=7y \Rightarrow x=1{,}4y$.
$4(1{,}4y)+5y=3 \Rightarrow 5{,}6y+5y=$
$=3 \Rightarrow 10{,}6y=3 \Rightarrow y=\frac{15}{53}$;
$x=1{,}4\cdot\frac{15}{53}=\frac{21}{53}$.
Отже, $(2;-1)$ і $(\frac{21}{53};\frac{15}{53})$ — розв’язки системи.