№ 13.26 Алгебра = № 27.26 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6} \\ x+y=5 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} (x-y)^{2}+4(x-y)+4=0 \\ (x+y)^{2}-2(x+y)-3=0 \end{cases}$
Розв’язок:
1) Нехай $\frac{x}{y}=t$, тоді $\frac{y}{x}=\frac{1}{t}$.
Маємо: $t-\frac{1}{t}=\frac{5}{6}$; $6t^{2}-6=5t$;
$6t^{2}-5t-6=0$; $t_{1}=\frac{3}{2}$, $t_{2}=-\frac{2}{3}$.
Якщо $t=\frac{3}{2}$:
$\begin{cases} \frac{x}{y}=\frac{3}{2} \\ x+y=5 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x=3y \\ x+y=5 \end{cases}$
Звідси $x=3$, $y=2$.
Якщо $t=-\frac{2}{3}$:
$\begin{cases} \frac{x}{y}=-\frac{2}{3} \\ x+y=5 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x=-2y \\ x+y=5 \end{cases}$
Звідси $x=-10$, $y=15$.
Отже, $(3;2)$ і $(-10;15)$ — розв’язки системи.
2) Нехай $x-y=t$, $x+y=v$.
$t^{2}+4t+4=0$; $t_{1}=t_{2}=-2$.
$v^{2}-2v-3=0$; $v_{1}=3$, $v_{2}=-1$.
Маємо дві системи:
$\begin{cases} x-y=-2 \\ x+y=3 \end{cases}$
або
$\begin{cases} x-y=-2 \\ x+y=-1 \end{cases}$
Розв’язавши першу систему, отримуємо $2x=1$, $x=0{,}5$, $y=2{,}5$.
Розв’язавши другу систему, отримуємо $2x=-3$, $x=-1{,}5$, $y=0{,}5$.
Отже, $(0{,}5;2{,}5)$ і $(-1{,}5;0{,}5)$ — розв’язки системи.