№ 13.27 Алгебра = № 27.27 Математика
За якого значення $a$ система
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=4 \\ y=x^{2}+a \end{cases}$
має:
1) єдиний розв’язок;
2) рівно три розв’язки?
Розв’язок:
1) Якщо $a=2$, парабола $y=x^{2}+2$ торкається кола $x^{2}+y^{2}=4$ у точці $(0;2)$: для точок параболи $y\geq2$, а для точок кола $y\leq2$. Система має один розв’язок.
2) Якщо $a=-2$, парабола $y=x^{2}-2$ проходить через нижню точку кола $(0;-2)$ і перетинає коло ще у двох точках $(-\sqrt{3};1)$ і $(\sqrt{3};1)$, симетричних відносно осі $y$. Система має три розв’язки.
Інших значень $a$ немає. Коло і парабола симетричні відносно осі $y$, тому їхні спільні точки, для яких $x\neq0$, утворюють пари $(x;y)$ і $(-x;y)$. Непарну кількість розв’язків система має лише тоді, коли одна зі спільних точок лежить на осі $y$, тобто є точкою кола $(0;2)$ або $(0;-2)$. Тоді $a=2$ або $a=-2$.
Відповідь:
1) $a=2$;
2) $a=-2$.