№ 14.22 Алгебра = № 28.22 Математика
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $13$ см. Якщо один з його катетів збільшити на $4$ см, а другий залишити без змін, то гіпотенуза нового трикутника дорівнюватиме $15$ см. Знайдіть площу початкового трикутника.
Розв’язок:
Нехай $x$ і $y$ — катети прямокутного трикутника, тоді:
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=13^{2} \\ (x+4)^{2}+y^{2}=15^{2} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=169 \\ x^{2}+8x+16+y^{2}=225 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=169 \\ 8x=40,x=5 \end{cases}$
Якщо $x=5$, то $25+y^{2}=169$; $y^{2}=169-25=144$; $y=\pm12$.
Оскільки $y$ — довжина катета, то $y>0$, тому $y=12$. Значення $y=-12$ не задовольняє умову задачі.
$S=\frac{1}{2}x\cdot y=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12=30\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Відповідь:
$30\text{ см}^{2}$.