№ 14.23 Алгебра = № 28.23 Математика
Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за 2 год. За скільки годин можна наповнити басейн через кожен кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на 1,5 год повільніше, ніж шоста частина басейну через другий?
Розв’язок:
Нехай один кран наповнює басейн за $x$ годин, другий за $y$ годин, тоді:
$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \\ \frac{x}{3}=1{,}5+\frac{y}{6} \end{cases}$
З другого рівняння:
$\frac{x}{3}=\frac{9+y}{6}$
$2x=9+y$
$y=2x-9$
Підставимо у перше рівняння:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x-9}=\frac{1}{2}$
Зведемо до спільного знаменника:
$2(2x-9)+2x=x(2x-9)$
$4x-18+2x=2x^{2}-9x$
$2x^{2}-15x+18=0$
Знайдемо корені рівняння:
$D=(-15)^{2}-4\cdot2\cdot18=$
$=225-144=81$
$x_{1}=\frac{15+9}{4}=6$
$x_{2}=\frac{15-9}{4}=1{,}5$
Якщо $x=6$, то $y=2\cdot6-9=3$.
Якщо $x=1{,}5$, то $y=2\cdot1{,}5-9=-6$ — не задовольняє умови задачі (час не може бути від’ємним).
Отже, один кран може наповнити басейн за 6 годин, другий — за 3 години.
Відповідь:
3 год; 6 год.