№ 14.25 Алгебра = № 28.25 Математика
З пунктів $A$ і $B$, відстань між якими $10$ км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через $1$ год їм залишилося пройти до зустрічі $1$ км. Якби один з пішоходів вийшов на $15$ хв раніше, то зустріч відбулася б на середині шляху. Знайдіть швидкість кожного пішохода.
Розв’язок:
Нехай $x$ км/год — швидкість пішохода, який вийшов би раніше, $y$ км/год — швидкість другого пішохода.
За $1$ год пішоходи разом пройшли $10-1=9$ (км).
Якби зустріч відбулася на середині шляху, то кожен пройшов би $10:2=5$ (км), причому перший був би в дорозі на $15$ хв $=\frac{1}{4}$ год довше за другого.
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} x+y=9 \\ \frac{5}{x}-\frac{5}{y}=\frac{1}{4} \end{cases}$
З першого рівняння $y=9-x$. Підставимо у друге:
$\frac{5}{x}-\frac{5}{9-x}=\frac{1}{4}$
$20(9-x)-20x=$
$=x(9-x)$
$180-20x-20x=$
$=9x-x^{2}$
$x^{2}-49x+180=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}=4$, $x_{2}=45$.
Якщо $x=4$, то $y=9-4=5$.
Якщо $x=45$, то $y=9-45=-36$ — не задовольняє умову задачі.
Отже, швидкість першого пішохода $4$ км/год, другого — $5$ км/год.
Відповідь:
$4$ км/год, $5$ км/год.