№ 14.27 Алгебра = № 28.27 Математика
Моторний човен проплив 33 км за течією річки і повернув назад за 3 год 20 хв. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки, якщо відомо, що 11 км за течією і 6 км проти течії він долає за 50 хв.
Розв’язок:
Нехай $x$ — власна швидкість човна, $y$ — швидкість течії, тоді:
$\begin{cases} \frac{33}{x+y}+\frac{33}{x-y}=3\frac{1}{3} \\ \frac{11}{x+y}+\frac{6}{x-y}=\frac{5}{6} \end{cases}$
Уведемо заміну: $\frac{1}{x+y}=u$, $\frac{1}{x-y}=v$. Матимемо систему рівнянь:
$\begin{cases} 33u+33v=\frac{10}{3}, \\ 11u+6v=\frac{5}{6}. \end{cases}$
Помножимо друге рівняння на $-3$:
$\begin{cases} 33u+33v=\frac{10}{3}, \\-33u-18v=-\frac{5}{2}. \end{cases}$
Додамо почленно рівняння системи:
$15v=\frac{10}{3}-\frac{5}{2}=\frac{20-15}{6}=\frac{5}{6},$
$v=\frac{5}{6}:15=\frac{1}{18}.$
Підставимо $v=\frac{1}{18}$ у перше рівняння:
$33u+33\cdot\frac{1}{18}=\frac{10}{3},$
$33u=\frac{10}{3}-\frac{11}{6}=$
$=\frac{20-11}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2},$
$u=\frac{3}{2}:33=\frac{1}{22}.$
Повертаємося до змінних $x$ та $y$:
$\begin{cases} \frac{1}{x+y}=\frac{1}{22}, \\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{18}. \end{cases}$
Отже:
$\begin{cases} x+y=22 \\ x-y=18 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x=40 \\ 2y=4 \end{cases}$
$\begin{cases} x=20 \\ y=2 \end{cases}$
Отже, власна швидкість човна 20 км/год, швидкість течії 2 км/год.
Відповідь:
20 км/год, 2 км/год.