№ 14.28 Алгебра = № 28.28 Математика
Із двох пунктів $A$ і $B$, відстань між якими $18$ км, одночасно виїхали назустріч одне одному велосипедист і велосипедистка. Велосипедист, що виїхав з пункту $A$, прибув до пункту $B$ через $24$ хв після зустрічі, а велосипедистка прибула до пункту $A$ через $54$ хв після зустрічі. Знайдіть швидкості велосипедистів.
Розв’язок:
Нехай швидкість велосипедиста, що їхав з $A$ до $B$, — $x$ км/год, а велосипедистки — $y$ км/год.
$24$ хв $=\frac{2}{5}$ год, $54$ хв $=\frac{9}{10}$ год.
Після зустрічі велосипедист проїхав $\frac{2}{5}x$ км, а велосипедистка — $\frac{9}{10}y$ км. Разом це весь шлях $AB$: кожен проїхав ту частину шляху, яку до зустрічі проїхав інший.
На весь шлях велосипедист витратив $\frac{18}{x}$ год, а велосипедистка — $\frac{18}{y}$ год. До зустрічі вони були в дорозі однаковий час, тому ці часи відрізняються на $\frac{9}{10}-\frac{2}{5}$ год.
За умовою задачі маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} \frac{2}{5}x+\frac{9}{10}y=18 \\ \frac{18}{y}-\frac{18}{x}=\frac{9}{10}-\frac{2}{5} \end{cases}$
$4x+9y=180$
$x=\frac{180-9y}{4}$
$\frac{18}{y}-\frac{72}{180-9y}=\frac{1}{2}$
$36(180-9y)-144y=$
$=y(180-9y)$
$6480-324y-144y=$
$=180y-9y^{2}$
$9y^{2}-648y+6480=0$
$y^{2}-72y+720=0$
$y_{1}=60,y_{2}=12$
Якщо $y=60$, то $x=\frac{180-9\cdot60}{4}=-90$ — не задовольняє умови задачі.
Якщо $y=12$, то:
$x=\frac{180-9\cdot12}{4}=\frac{180-108}{4}=18.$
Відповідь:
Велосипедист — $18$ км/год,
велосипедистка — $12$ км/год.