№ 14.30 Алгебра = № 28.30 Математика
Знайдіть розв’язки системи рівнянь:
1) $\begin{cases} x-y=2 \\ x^{2}+y^{2}=34 \end{cases}$
2) $\begin{cases} x+y=9 \\ x^{2}-y^{2}=9 \end{cases}$
Розв’язок:
1) $\begin{cases} x-y=2 \\ x^{2}+y^{2}=34 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2+y \\ (2+y)^{2}+y^{2}=34 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2+y \\ 4+4y+y^{2}+y^{2}-34=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2+y \\ 2y^{2}+4y-30=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2+y \\ y^{2}+2y-15=0 \end{cases}$
Корені рівняння $y^{2}+2y-15=0$: $y_{1}=-5$, $y_{2}=3$.
Якщо $y=-5$, то $x=2+(-5)=-3$.
Якщо $y=3$, то $x=2+3=5$.
Отже, $(-3;-5)$, $(5;3)$ — розв’язки системи.
2) $\begin{cases} x+y=9 \\ x^{2}-y^{2}=9 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=9 \\ (x-y)(x+y)=9 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=9 \\ (x-y)\cdot9=9 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=1 \end{cases}$
Додамо рівняння: $2x=10$, звідки $x=5$.
Тоді $5+y=9$, отже $y=4$.
Відповідь:
1) $(-3;-5)$, $(5;3)$;
2) $(5;4)$.