№ 8.24 Алгебра = № 18.24 Математика
Знайдіть область значень функції:
1) $f(x)=\sqrt{x}-5$;
2) $g(x)=3-\sqrt{x}$;
3) $t(x)=|x|+2$;
4) $g(x)=|x|-3$;
5) $f(x)=x^{2}+5$;
6) $\phi(x)=9-x^{4}$.
Розв’язок:
1) $f(x)=\sqrt{x}-5$. Оцінимо вираз $\sqrt{x}-5$ для $x\geq0$.
$\sqrt{x}\geq0$
$\sqrt{x}-5\geq-5$
Отже, $f(x)\geq-5$ для $x\geq0$, тобто областю значень функції $f(x)=\sqrt{x}-5$ є проміжок $\lbrack-5;+\infty)$.
2) $g(x)=3-\sqrt{x}$. Оцінимо вираз $3-\sqrt{x}$ для $x\geq0$.
$\sqrt{x}\geq0$
$-\sqrt{x}\leq0$
$3-\sqrt{x}\leq3$
Отже, $g(x)\leq3$ для $x\geq0$, тобто областю значень функції $g(x)=3-\sqrt{x}$ є проміжок $(-\infty;3\rbrack$.
3) $t(x)=|x|+2$. Оцінимо вираз $|x|+2$ для будь-якого значення $x$.
$|x|\geq0$
$|x|+2\geq2$
Отже, $t(x)\geq2$. Областю значень є проміжок $\lbrack 2;+\infty)$.
4) $g(x)=|x|-3$. Оцінимо вираз $|x|-3$ для будь-якого значення $x$.
$|x|\geq0$
$|x|-3\geq-3$
Отже, $g(x)\geq-3$ при будь-якому значенні $x$. Областю значень є проміжок $\lbrack-3;+\infty)$.
5) $f(x)=x^{2}+5$. Оцінимо вираз $x^{2}+5$ для всіх значень $x$.
$x^{2}\geq0$
$x^{2}+5\geq5$
Отже, $f(x)\geq5$ при будь-якому значенні $x$. Областю значень є проміжок $\lbrack 5;+\infty)$.
6) $\phi(x)=9-x^{4}$. Оцінимо вираз $9-x^{4}$.
$x^{4}\geq0$
$-x^{4}\leq0$
$9-x^{4}\leq9$
Отже, $\phi(x)\leq9$ при будь-якому значенні $x$. Областю значень є проміжок $(-\infty;9\rbrack$.