№ 9.12 Алгебра = № 19.12 Математика
Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат графіка функції:
1) $y=\frac{x^{2}+2x-3}{x-1}$
2) $y=\sqrt{x+2}$
3) $y=\frac{|x|-1}{x+1}$
4) $y=\frac{\sqrt{x^{2}-2x}}{x}$
Розв’язок:
1) $y=\frac{x^{2}+2x-3}{x-1}$
$D(y)=(-\infty;1) \cup (1;+\infty)$.
Знайдемо точки перетину з віссю $Ox$:
$x^{2}+2x-3=0$; $x_{1}=-3$, $x_{2}=1$.
$x=1$ не входить в область визначення функції. Отже, точка перетину з віссю $Ox:\ (-3;0)$.
Знайдемо точку перетину з віссю $Oy$:
$y=\frac{0^{2}+2\cdot0-3}{0-1}=3$
отже, точка перетину з віссю $Oy:\ (0;3)$.
2) $y=\sqrt{x+2}$.
Область визначення функції: $x\geq-2$.
Знайдемо точку перетину з віссю $Ox$:
$\sqrt{x+2}=0$; $x=-2$.
Отже, точка перетину з віссю $Ox:\ (-2;0)$.
Знайдемо точку перетину з віссю $Oy$:
$y=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$
Отже, точка перетину з віссю $Oy:\ \left( 0;\sqrt{2} \right)$.
3) $y=\frac{|x|-1}{x+1}$. Область визначення функції $(-\infty;-1) \cup (-1;+\infty)$.
Знайдемо точки перетину з віссю $Ox$:
$\frac{|x|-1}{x+1}=0$; $|x|-1=0$; $|x|=1$; $x=1$ або $x=-1$.
$x=-1$ не входить в область визначення функції. Отже, точка перетину з віссю $Ox:\ (1;0)$.
Знайдемо точку перетину з віссю $Oy$:
$y=\frac{|0|-1}{0+1}=-1$
Отже, точка перетину з віссю $Oy:\ (0;-1)$.
4) $y=\frac{\sqrt{x^{2}-2x}}{x}$. Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому $x\neq0$.
Знайдемо точки перетину з віссю $Ox$:
$\sqrt{x^{2}-2x}=0$; $x^{2}-2x=0$;
$x(x-2)=0$; $x=0$ або $x=2$.
Число $0$ не входить в область визначення функції. Отже, точка перетину з віссю $Ox$: $(2;0)$.
Точок перетину з віссю $Oy$ немає, оскільки $x=0$ не входить в область визначення.
Відповідь:
1) $(0;3)$, $(-3;0)$; 2) $\left( 0;\sqrt{2} \right)$, $(-2;0)$;
3) $(0;-1)$, $(1;0)$; 4) $(2;0)$.