№ 9.18 Алгебра = № 19.18 Математика
Скільки нулів має функція:
1) $f(x)=x(x^{2}-1)\sqrt{|x|+2}$
2) $g(x)=(x^{2}-4)\sqrt{|x|-3}$
Розв’язок:
1) Функція $f(x)$ дорівнює нулю, якщо $x=0$, або $x^{2}-1=0$, або $\sqrt{|x|+2}=0$.
Вираз $\sqrt{|x|+2}$ завжди додатний для будь-якого $x$, тому він не дорівнює нулю.
Рівняння $x^{2}-1=0$ має корені $x=1$ та $x=-1$.
Отже, функція має три нулі: $0$, $1$, $-1$.
2) Функція $g(x)$ дорівнює нулю, якщо $x^{2}-4=0$ або $\sqrt{|x|-3}=0$.
Для існування функції має виконуватися умова $|x|-3\geq0$, тобто $|x|\geq3$.
Корені рівняння $x^{2}-4=0$ — це $x=2$ та $x=-2$. Оскільки $|2|<3$ та $|-2|<3$, ці значення не належать області визначення функції.
Рівняння $\sqrt{|x|-3}=0$ має корені $|x|=3$, тобто $x=3$ та $x=-3$.
Отже, функція має два нулі: $3$, $-3$.
Відповідь:
1) Три нулі: $0$, $1$, $-1$.
2) Два нулі: $3$, $-3$.