№ 9.20 Алгебра = № 19.20 Математика
Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $f(x)=\begin{cases} \frac{8}{x}, & \text{якщо }x<-2, \\ 2x, & \text{якщо }-2\leq x\leq2, \\ \frac{8}{x}, & \text{якщо }x>2; \end{cases}$
2) $g(x)=x+|x|$
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції.
Розв’язок:
1) Для побудови графіка розглядаємо кожну частину окремо:
- при $x<-2$ будуємо частину гіперболи $y=\frac{8}{x}$;
- при $-2\leq x\leq2$ — відрізок прямої $y=2x$;
- при $x>2$ будуємо частину гіперболи $y=\frac{8}{x}$.
Область визначення функції: $(-\infty;+\infty)$.
Область значень: $\lbrack-4;4\rbrack$.
Нулі функції: $x=0$.
Функція зростає на проміжку: $\lbrack-2;2\rbrack$.
Функція спадає на проміжках: $(-\infty;-2)$ і $(2;+\infty)$.
$y>0$, якщо $x>0$; $y<0$, якщо $x<0$.
Найбільше значення функції — $4$ (при $x=2$),
найменше — $-4$ (при $x=-2$).
2) $g(x)=x+|x|$.
Якщо $x\geq0$, то $|x|=x$ і $g(x)=x+x=2x$;
якщо $x<0$, то $|x|=-x$ і $g(x)=x-x=0$.
Область визначення функції: $(-\infty;+\infty)$.
Область значень: $\lbrack 0;+\infty)$.
Нулі функції: усі числа з проміжку $(-\infty;0\rbrack$.
$y>0$, якщо $x>0$; від’ємних значень функція не набуває.
Функція зростає на проміжку $\lbrack 0;+\infty)$ і є сталою на проміжку $(-\infty;0\rbrack$.
Найменше значення функції дорівнює $0$, найбільшого — не існує.