№ 9.21 Алгебра = № 19.21 Математика
Побудуйте графік функції та сформулюйте її властивості:
1) $g(x)=\begin{cases}-\frac{6}{x}, & \text{якщо }x<-2, \\-1{,}5x, & \text{якщо }-2\leq x\leq2, \\-\frac{6}{x}, & \text{якщо }x>2; \end{cases}$
2) $f(x)=x-|x|$
За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції.
Розв’язок:
1) Для побудови графіка розглядаємо кожну частину окремо:
- при $x<-2$ будуємо частину гіперболи $y=-\frac{6}{x}$;
- при $-2\leq x\leq2$ — відрізок прямої $y=-1{,}5x$;
- при $x>2$ будуємо частину гіперболи $y=-\frac{6}{x}$.
Область визначення функції: $(-\infty;+\infty)$.
Область значень: $\lbrack-3;3\rbrack$.
Функція зростає на проміжках: $(-\infty;-2)$ і $(2;+\infty)$.
Функція спадає на проміжку: $\lbrack-2;2\rbrack$.
Нулі функції: $x=0$.
$y>0$, якщо $x<0$; $y<0$, якщо $x>0$.
Найбільше значення функції — $3$ (при $x=-2$),
найменше — $-3$ (при $x=2$).
2) Якщо $x\geq0$, то $|x|=x$ і $f(x)=x-x=0$;
якщо $x<0$, то $|x|=-x$ і $f(x)=x+x=2x$.
Область визначення функції: $(-\infty;+\infty)$.
Область значень функції: $(-\infty;0\rbrack$.
Нулі функції: $x \in \lbrack 0;+\infty)$.
$y<0$, якщо $x<0$; додатних значень функція не набуває.
Функція зростає на проміжку $(-\infty;0\rbrack$.
Функція є сталою на проміжку: $\lbrack 0;+\infty)$.
Найбільше значення функції дорівнює $0$, найменшого — не існує.