№ 9.9 Алгебра = № 19.9 Математика
Накресліть схематично графік функції $y=g(x)$, областю визначення якої є проміжок $\lbrack-3;5\rbrack$, так, щоб:
1) нулем функції було число $2$;
2) нулями функції були числа $-1$ і $4$;
3) функція зростала на проміжку $\lbrack-3;2\rbrack$ і спадала на проміжку $\lbrack 2;5\rbrack$.
Розв’язок:
Проаналізуємо кожну умову окремо й підберемо для неї рівняння функції.
1) Нулем функції є число $2$.
Це означає, що $g(2)=0$, а на решті проміжку $\lbrack-3;5\rbrack$ функція не дорівнює нулю. Найпростіший варіант — лінійна функція, яка перетинає вісь абсцис лише в точці $x=2$:
$g(x)=x-2$, $x \in \lbrack-3;5\rbrack$.
Перевірка: $g(2)=2-2=0$; на інших значеннях функція ненульова.
2) Нулями функції є числа $-1$ і $4$.
Функція має два нулі: $g(-1)=0$ і $g(4)=0$. Зручно взяти добуток двох лінійних множників:
$g(x)=(x+1)(x-4)$, $x \in \lbrack-3;5\rbrack$.
Перевірка: $g(-1)=0\cdot(-5)=0$; $g(4)=5\cdot0=0$.
Це парабола з гілками, напрямленими вгору, з нулями в точках $-1$ і $4$.
3) Функція зростає на проміжку $\lbrack-3;2\rbrack$ і спадає на проміжку $\lbrack 2;5\rbrack$.
Потрібна функція, яка має максимум у точці $x=2$. Підходить парабола з гілками, напрямленими вниз, з вершиною при $x=2$:
$g(x)=-(x-2)^{2}+c$, $x \in \lbrack-3;5\rbrack$,
де $c$ — будь-яке число (наприклад, $c=4$):
$g(x)=-(x-2)^{2}+4$, $x \in \lbrack-3;5\rbrack$.
Перевірка: вершина параболи — у точці $(2;4)$; ліворуч від неї функція зростає, праворуч — спадає.