№ 9 ДСР 3 Алгебра = № 9 ДСР 6 Математика
Не виконуючи побудови, знайдіть усі точки перетину прямої $x+y=3$ і параболи $y=x^{2}+1$.
А. $(1;2)$
Б. $(1;2)$, $(-2;5)$
В. $(-1;4)$, $(2;1)$
Г. $(2;1)$, $(5;-2)$
Розв’язок:
Складемо систему рівнянь:
$\begin{cases} x+y=3, \\ y=x^{2}+1. \end{cases}$
Виразимо $y$ з першого рівняння:
$y=3-x$
Підставимо у друге рівняння:
$3-x=x^{2}+1$
$x^{2}+x-2=0$
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, знаходимо корені:
$x_{1}=-2,x_{2}=1$
Знайдемо відповідні значення $y$:
якщо $x_{1}=-2$, то $y_{1}=3-(-2)=5$;
якщо $x_{2}=1$, то $y_{2}=3-1=2$.
Точки перетину: $(-2;5)$ та $(1;2)$.
Цим координатам відповідає варіант Б. Варіант А містить лише одну з двох точок, а у варіантах В і Г є пари, які не задовольняють систему. Наприклад, для пари $(-1;4)$ з варіанта В:
$-1+4=3$, але $4\neq(-1)^{2}+1$.
Відповідь:
Б. $(1;2)$, $(-2;5)$