№ 21 ВПР 2 Алгебра = № 21 ВПТ 4 Математика
1) Побудуйте графік функції $y=||x-1|-2|$.
2) Використовуючи графік, знайдіть такі значення $a$, за яких рівняння $||x-1|-2|=a$ має рівно три корені.
3) За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування.
Розв’язок:
1) Графік функції $y=|x-1|-2$ отримаємо, перенісши графік функції $y=|x|$ уздовж осі $x$ на 1 одиницю вправо, а потім уздовж осі $y$ на 2 одиниці вниз.
Ту частину цього графіка, яка лежить нижче від осі $x$, симетрично відобразимо відносно осі $x$. Отримаємо графік функції $y=||x-1|-2|$:
2) Рівняння $||x-1|-2|=a$ має рівно три корені, якщо горизонтальна пряма $y=a$ перетинає графік функції у трьох точках.
З графіка видно, що пряма $y=a$ має з графіком рівно три спільні точки лише тоді, коли вона проходить через точку $(1;2)$, тобто при $a=2$.
Якщо $0<a<2$, спільних точок чотири; якщо $a=0$ або $a>2$ — дві; якщо $a<0$ — жодної.
3) Перевірку можна виконати за допомогою програм (наприклад, GeoGebra або Desmos), побудувавши графік функції та пряму $y=2$.
Відповідь:
$a=2$.