№ 38 ВПР 2 Алгебра = № 38 ВПТ 4 Математика
За яких значень $a$ функція $y=(a-1)x^{2}+2x+7$ набуває додатних значень для будь-якого значення $x$?
Розв’язок:
Якщо $a=1$, то $y=2x+7$ — лінійна функція, яка набуває й від’ємних значень:
$y(-4)=-8+7=-1<0$.
Отже, $a=1$ не підходить.
Якщо $a\neq1$, функція квадратична. Вона набуває додатних значень для будь-якого $x$, якщо гілки параболи спрямовані вгору і парабола не перетинає вісь $x$, тобто:
$\begin{cases} a-1>0 \\ D<0 \end{cases}$
Знайдемо дискримінант:
$D=2^{2}-4\cdot(a-1)\cdot7=$
$=4-28(a-1)=$
$=4-28a+28=32-28a$
Розв’яжемо систему:
$\begin{cases} a>1 \\ 32-28a<0 \end{cases}$
$\begin{cases} a>1 \\ a>\frac{32}{28} \end{cases}$
$\begin{cases} a>1 \\ a>\frac{8}{7} \end{cases}$
Перетин розв’язків: $a>\frac{8}{7}$.
Відповідь:
$a>\frac{8}{7}$.