Завдання № 43

№ 43 ВПР 2 Алгебра = № 5 ВПТ 6 Математика

Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2}-2x-9\geq0$;

2) $x^{2}-11+4x<0$;

3) $\frac{1}{4}x^{2}-x+1>0$;

4) $6x+x^{2}+9\geq0$;

5) $-x^{2}-8x-16<0$;

6) $x^{2}+x+9\geq0$.

Розв’язок:

1)

$x^{2}-2x-9=0$;

$D=4+4\cdot9=4+36=40$;

$x_{1}=\frac{2+\sqrt{40}}{2}=\frac{2+2\sqrt{10}}{2}=$

$=1+\sqrt{10}$;

$x_{2}=1-\sqrt{10}$.

$x \in (-\infty;1-\sqrt{10}\rbrack \cup \lbrack 1+\sqrt{10};+\infty)$.

2)

$x^{2}+4x-11=0$;

$D=16+44=60$;

$x_{1}=\frac{-4+\sqrt{60}}{2}=\frac{-4+2\sqrt{15}}{2}=$

$=-2+\sqrt{15}$;

$x_{2}=\frac{-4-2\sqrt{15}}{2}=-2-\sqrt{15}$.

$x \in (-2-\sqrt{15};-2+\sqrt{15})$.

3)

$\frac{1}{4}x^{2}-x+1>0$;

$\frac{1}{4}x^{2}-x+1=0$;

$D=1-4\cdot\frac{1}{4}\cdot1=0$;

$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{4}}=\frac{1}{0{,}5}=2$.

$x \in (-\infty;2) \cup (2;+\infty)$.

4)

$x^{2}+6x+9\geq0$;

$(x+3)^{2}\geq0$;

$x_{1}=x_{2}=-3$.

$x \in (-\infty;+\infty)$.

5)

$-x^{2}-8x-16<0$;

$-(x^{2}+8x+16)<0$;

$-(x+4)^{2}<0$;

$x^{2}+8x+16=0$;

$x_{1}=x_{2}=-4$.

$x \in (-\infty;-4) \cup (-4;+\infty)$.

6)

$x^{2}+x+9\geq0$;

$D=1-36=-35$.

Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, парабола лежить вище осі $x$.

Отже, нерівність виконується для будь-якого дійсного числа.

$x \in (-\infty;+\infty)$.