№ 50 ВПР 2 Алгебра = № 12 ВПТ 6 Математика
За яких значень $a$ розв’язком нерівності
$x^{2}-(a^{2}-2a-3)x+a^{2}+2<0$
є проміжок $(2;3)$?
Розв’язок:
Розв’яжемо рівняння:
$x^{2}-(a^{2}-2a-3)x+a^{2}+2=0$
Оскільки розв’язком нерівності є проміжок $(2;3)$, то числа $2$ та $3$ є коренями відповідного квадратного рівняння. За теоремою Вієта:
$\begin{cases} x_{1}+x_{2}=a^{2}-2a-3=5 \\ x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}+2=6 \end{cases}$
З другого рівняння системи:
$a^{2}=4$
$a=2$ або $a=-2$
Перевіримо значення $a$ підстановкою у перше рівняння:
Якщо $a=2$:
$2^{2}-2\cdot2-3=$
$=4-4-3=-3\neq5$
Якщо $a=-2$:
$(-2)^{2}-2\cdot(-2)-3=$
$=4+4-3=5$
Отже, $a=-2$.
Відповідь:
$a=-2$.