№ 51 ВПР 2 Алгебра = № 13 ВПТ 6 Математика
За яких значень $m$ графіки функцій $y=mx^{2}-x$ та $y=mx+1-2m$ не мають спільних точок?
Розв’язок:
Знайдемо спільні точки графіків:
$mx^{2}-x=mx+1-2m$
$mx^{2}-x(1+m)+(2m-1)=0$
Графіки не мають спільних точок, якщо дискримінант отриманого квадратного рівняння від’ємний ($D<0$):
$D=(-(1+m))^{2}-4\cdot m\cdot(2m-1)=$
$=(1+m)^{2}-8m^{2}+4m=$
$=1+2m+m^{2}-8m^{2}+4m=$
$=-7m^{2}+6m+1$
Розв’яжемо нерівність $-7m^{2}+6m+1<0$:
$7m^{2}-6m-1>0$
Знайдемо корені рівняння $7m^{2}-6m-1=0$:
$D_{m}=(-6)^{2}-4\cdot7\cdot(-1)=$
$=36+28=64$
$m_{1}=\frac{6+8}{14}=1$
$m_{2}=\frac{6-8}{14}=-\frac{1}{7}$
Оскільки гілки параболи $f(m)=7m^{2}-6m-1$ напрямлені вгору, нерівність $7m^{2}-6m-1>0$ виконується при:
$m<-\frac{1}{7}$
або
$m>1$
Також врахуємо випадок, коли $m=0$ (рівняння стає лінійним):
$-x-1=0 \Rightarrow x=-1$
Спільна точка існує, отже $m=0$ не задовольняє умову. Оскільки $0$ входить у проміжок $(-\frac{1}{7};1)$, який ми виключили, це значення враховано.
Відповідь:
$m \in (-\infty;-\frac{1}{7}) \cup (1;+\infty)$.