№ 53 ВПР 2 Алгебра = № 15 ВПТ 6 Математика
Для кожного значення $a$ розв’яжіть нерівність (де $x$ — змінна):
1) $x^{2}+x(2+a)+2a<0$;
2) $x^{2}-x(a-3)-(2a^{2}+6a)\geq0$.
Розв’язок:
1) Розглянемо рівняння $x^{2}+x(2+a)+2a=0$.
Дискримінант:
$D=(2+a)^{2}-4\cdot2a=$
$=4+4a+a^{2}-8a=$
$=a^{2}-4a+4=(a-2)^{2}$
Корені рівняння:
$x_{1}=\frac{-2-a-(a-2)}{2}=$
$=\frac{-2a}{2}=-a$
$x_{2}=\frac{-2-a+(a-2)}{2}=$
$=\frac{-4}{2}=-2$
Якщо $a<2$, то $-2<x<-a$.
Якщо $a=2$, то нерівність набуває вигляду $(x+2)^{2}<0$, розв’язків немає.
Якщо $a>2$, то $-a<x<-2$.
2) Розглянемо рівняння $x^{2}-x(a-3)-2a(a+3)=0$.
Дискримінант:
$D=(a-3)^{2}+4\cdot2a(a+3)=$
$=a^{2}-6a+9+8a^{2}+24a=$
$=9a^{2}+18a+9=9(a+1)^{2}$
Корені рівняння:
$x_{1}=\frac{a-3-3(a+1)}{2}=$
$=\frac{a-3-3a-3}{2}=$
$=\frac{-2a-6}{2}=-a-3$
$x_{2}=\frac{a-3+3(a+1)}{2}=$
$=\frac{a-3+3a+3}{2}=\frac{4a}{2}=2a$
Якщо $a<-1$, то $-a-3>2a$, отже $x\leq2a$ або $x\geq-a-3$.
Якщо $a=-1$, то $x$ — будь-яке число.
Якщо $a>-1$, то $-a-3<2a$, отже $x\leq-a-3$ або $x\geq2a$.