№ 58 ВПР 2 Алгебра = № 20 ВПТ 6 Математика
Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} y=2(x-1)^{2}+3, \\ xy=10; \end{cases}$
2)
$\begin{cases} (x+3)^{2}+(y+3)^{2}=4, \\ y=-x^{2}+6x-8. \end{cases}$
За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} y=2(x-1)^{2}+3, \\ xy=10. \end{cases}$
Графіком рівняння $y=2(x-1)^{2}+3$ є парабола з вершиною $(1;3)$, гілки якої спрямовані вгору, а графіком рівняння $xy=10$ — гіпербола $y=\frac{10}{x}$. Графіки мають одну спільну точку $(2;5)$. Перевіркою впевнюємося, що ця пара чисел є розв’язком системи.
Побудувавши графіки системи 1) за допомогою програми для побудови графіків, переконуємося, що інших спільних точок вони не мають.
2)
$\begin{cases} (x+3)^{2}+(y+3)^{2}=4, \\ y=-x^{2}+6x-8. \end{cases}$
Графіком рівняння $(x+3)^{2}+(y+3)^{2}=4$ є коло із центром у точці $(-3;-3)$ і радіусом $2$, а графіком рівняння $y=-x^{2}+6x-8$ — парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо нулі функції і вершину параболи:
$-x^{2}+6x-8=0$
$x^{2}-6x+8=0$, $x_{1}=4$, $x_{2}=2$.
Координати вершини: $x_{в}=-\frac{6}{-2}=3$; $y_{в}=-9+6\cdot3-8=1$.
Графіки не мають спільних точок, отже, система розв’язків не має.
Відповідь:
1) $(2;5)$; 2) розв’язків немає.