№ 59 ВПР 2 Алгебра = № 21 ВПТ 6 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} x+y=8 \\ x^{2}-2xy+y^{2}=16 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=25 \\ xy=-12 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} x+y=8 \\ x^{2}-2xy+y^{2}=16 \end{cases}$
$\begin{cases} y=8-x \\ x^{2}-2x(8-x)+(8-x)^{2}=16 \end{cases}$
$x^{2}-16x+2x^{2}+64-16x+x^{2}-16=0$
$4x^{2}-32x+48=0$
$x^{2}-8x+12=0$
$x_{1}=6,x_{2}=2$
Якщо $x=6$, то $y=8-6=2$; якщо $x=2$, то $y=8-2=6$.
Отже, $(6;2)$, $(2;6)$ — розв’язки системи.
2)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=25 \\ xy=-12 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=25 \\ y=-\frac{12}{x} \end{cases}$
Підставимо $y$ у перше рівняння:
$x^{2}+\left(-\frac{12}{x} \right)^{2}=25$
$x^{2}+\frac{144}{x^{2}}=25$
$x^{4}-25x^{2}+144=0$
Нехай $x^{2}=t$, тоді $t^{2}-25t+144=0$.
За теоремою Вієта: $t_{1}=16,t_{2}=9$.
Якщо $x^{2}=16$, то $x=4$ або $x=-4$.
Якщо $x=4$, то $y=-3$.
Якщо $x=-4$, то $y=3$.
Якщо $x^{2}=9$, то $x=3$ або $x=-3$.
Якщо $x=3$, то $y=-4$.
Якщо $x=-3$, то $y=4$.
Отже, $(3;-4)$, $(-3;4)$, $(4;-3)$, $(-4;3)$ — розв’язки системи.