№ 60 ВПР 2 Алгебра = № 22 ВПТ 6 Математика
Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1)
$\begin{cases} 5y^{2}+x^{2}=29 \\ 2y^{2}+x^{2}=17 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}+2y=5 \\ 5x^{2}+3y=39 \end{cases}$
3)
$\begin{cases} 3x^{2}+xy=10 \\ 2x^{2}+5xy=-2 \end{cases}$
4)
$\begin{cases} \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=1 \\ \frac{3}{x}-\frac{5}{y}=0 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} 5y^{2}+x^{2}=29 \\ 2y^{2}+x^{2}=17\cdot(-1) \end{cases}$
$3y^{2}=12$
$y^{2}=4$
$y=\pm2$
Якщо $y=2$, $x^{2}=29-5\cdot4=9$; $x=\pm3$.
Якщо $y=-2$, $x^{2}=29-5\cdot4=9$; $x=\pm3$.
Отже, $(3;2)$, $(-3;2)$, $(3;-2)$, $(-3;-2)$ — розв’язки системи.
2)
$\begin{cases} x^{2}+2y=5\cdot3 \\ 5x^{2}+3y=39\cdot(-2) \end{cases}$
$\begin{cases} 3x^{2}+6y=15 \\-10x^{2}-6y=-78 \end{cases}$
$-7x^{2}=-63$
$x^{2}=9$
$x=\pm3$
Якщо $x=3$, $y=\frac{5-x^{2}}{2}=\frac{5-9}{2}=-2$.
Якщо $x=-3$, $y=\frac{5-x^{2}}{2}=\frac{5-9}{2}=-2$.
Отже, $(3;-2)$, $(-3;-2)$ — розв’язки системи.
3)
$\begin{cases} 3x^{2}+xy=10\cdot(-5) \\ 2x^{2}+5xy=-2 \end{cases}$
$\begin{cases}-15x^{2}-5xy=-50 \\ 2x^{2}+5xy=-2 \end{cases}$
$-13x^{2}=-52$
$x^{2}=4$
$x=\pm2$
Якщо $x=2$, $y=\frac{10-3x^{2}}{x}=\frac{10-3\cdot4}{2}=\frac{10-12}{2}=-1$.
Якщо $x=-2$, $y=\frac{10-3x^{2}}{x}=\frac{10-3\cdot4}{-2}=\frac{10-12}{-2}=1$.
Отже, $(2;-1)$, $(-2;1)$ — розв’язки системи.
4)
$\begin{cases} \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=1 \\ \frac{3}{x}-\frac{5}{y}=0 \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$\frac{3}{x}+\frac{3}{x}=1$
$\frac{6}{x}=1$
$x=6$
Підставимо $x=6$ у перше рівняння:
$\frac{3}{6}+\frac{5}{y}=1$
$\frac{1}{2}+\frac{5}{y}=1$
$\frac{5}{y}=\frac{1}{2}$
$y=10$
Отже, $(6;10)$ — розв’язок системи.