№ 62 ВПР 2 Алгебра = № 24 ВПТ 6 Математика
Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1)
$\begin{cases} xy-x-2y=7 \\ 3xy-x-3y=13 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}-xy=6 \\ y^{2}-xy=-2 \end{cases}$
Розв’язок:
1) Віднімемо від другого рівняння перше:
$(3xy-x-3y)-(xy-x-2y)=$
$=13-7$
$2xy-y=6$
$y(2x-1)=6$
$y=\frac{6}{2x-1}$
Підставимо $y$ у перше рівняння:
$x\cdot\frac{6}{2x-1}-x-2\cdot\frac{6}{2x-1}=7$
$\frac{6x-12}{2x-1}-x=7$
$\frac{6x-12-x(2x-1)}{2x-1}=7$
$6x-12-2x^{2}+x=$
$=7(2x-1)$
$-2x^{2}+7x-12=14x-7$
$2x^{2}+7x+5=0$
За теоремою Вієта або через дискримінант:
$x_{1}=-1$, $x_{2}=-2{,}5$.
Якщо $x=-1$, то $y=\frac{6}{2(-1)-1}=\frac{6}{-3}=-2$.
Якщо $x=-2{,}5$, то $y=\frac{6}{2(-2{,}5)-1}=\frac{6}{-6}=-1$.
Отже, $(-1;-2)$, $(-2{,}5;-1)$ — розв’язки системи.
2) Поділимо перше рівняння на друге:
$\frac{x(x-y)}{y(y-x)}=\frac{6}{-2}$
$-\frac{x}{y}=-3$
$x=3y$
Підставимо $x=3y$ у перше рівняння:
$(3y)^{2}-(3y)y=6$
$9y^{2}-3y^{2}=6$
$6y^{2}=6$
$y^{2}=1$
$y_{1}=1$, $y_{2}=-1$.
Якщо $y=1$, то $x=3\cdot1=3$.
Якщо $y=-1$, то $x=3\cdot(-1)=-3$.
Отже, $(3;1)$, $(-3;-1)$ — розв’язки системи.
Відповідь:
1) $(-1;-2)$, $(-2{,}5;-1)$.
2) $(3;1)$, $(-3;-1)$.