№ 62 ВПР 2 Алгебра = № 24 ВПТ 6 Математика
Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1)
$\begin{cases} xy-x-2y=7 \\ 3xy-x-3y=13 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} x^{2}-xy=6 \\ y^{2}-xy=-2 \end{cases}$
Розв’язок:
1) Віднімемо від другого рівняння перше:
$(3xy-x-3y)-(xy-x-2y)=$
$=13-7$
$2xy-y=6$
$y(2x-1)=6$
$y=\frac{6}{2x-1}$
Підставимо $y$ у перше рівняння:
$x\cdot\frac{6}{2x-1}-x-2\cdot\frac{6}{2x-1}=7$
$\frac{6x-12}{2x-1}-x=7$
$\frac{6x-12-x(2x-1)}{2x-1}=7$
$6x-12-2x^{2}+x=$
$=7(2x-1)$
$-2x^{2}+7x-12=14x-7$
$2x^{2}+7x+5=0$
$D=7^{2}-4\cdot2\cdot5=9$;
$x_{1}=\frac{-7+3}{4}=-1$, $x_{2}=\frac{-7-3}{4}=-2{,}5$.
Якщо $x=-1$, то $y=\frac{6}{2(-1)-1}=\frac{6}{-3}=-2$.
Якщо $x=-2{,}5$, то $y=\frac{6}{2(-2{,}5)-1}=\frac{6}{-6}=-1$.
Отже, $(-1;-2)$, $(-2{,}5;-1)$ — розв’язки системи.
2) Додамо рівняння системи:
$x^{2}-2xy+y^{2}=4;$
$(x-y)^{2}=4.$
Звідси $x-y=2$ або $x-y=-2$.
Перше рівняння системи запишемо так:
$x(x-y)=6.$
Якщо $x-y=2$, то
$2x=6,\ x=3,\ y=3-2=1.$
Якщо $x-y=-2$, то
$-2x=6,\ x=-3,\ y=-3+2=-1.$
Отже, $(3;1)$, $(-3;-1)$ — розв’язки системи.
Відповідь:
1) $(-1;-2)$, $(-2{,}5;-1)$.
2) $(3;1)$, $(-3;-1)$.