№ 63 ВПР 2 Алгебра = № 25 ВПТ 6 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} x+y+\frac{x}{y}=11 \\ \frac{x}{y}(x+y)=24 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} \frac{x+3y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3y}=\frac{24}{5} \\ 5x+8y=18 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
Нехай $x+y=t$, $\frac{x}{y}=v$, тоді
$\begin{cases} t+v=11 \\ v\cdot t=24 \end{cases}$
$\begin{cases} v=11-t \\ (11-t)\cdot t=24 \end{cases}$
$t^{2}-11t+24=0$
$t_{1}=8$, $t_{2}=3$.
Якщо $t=8$, $v=11-8=3$; якщо $t=3$, $v=11-3=8$.
$\begin{cases} x+y=8 \\ \frac{x}{y}=3 \end{cases}$
$\begin{cases} y=8-x \\ x=3(8-x) \end{cases}$
$\begin{cases} y=8-x \\ x=24-3x \end{cases}$
$\begin{cases} y=2 \\ x=6 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=3 \\ \frac{x}{y}=8 \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-x \\ x=8(3-x) \end{cases}$
$\begin{cases} y=3-x \\ x=24-8x \end{cases}$
$\begin{cases} x=2\frac{2}{3} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$
Отже, $(6;2)$, $(2\frac{2}{3};\frac{1}{3})$ — розв’язки системи.
2)
Нехай $\frac{x+3y}{x-y}=t$, тоді $\frac{x-y}{x+3y}=\frac{1}{t}$.
$t-\frac{1}{t}=\frac{24}{5}$
$5t^{2}-24t-5=0$
$D=576+100=676$;
$t_{1}=\frac{24+26}{10}=5$, $t_{2}=\frac{24-26}{10}=-\frac{1}{5}$.
Якщо $t=5$:
$\frac{x+3y}{x-y}=5$
$x+3y=5x-5y $
$4x-8y=0$
$x=2y$.
$\begin{cases} x=2y \\ 5x+8y=18 \end{cases}$
$5(2y)+8y=18$
$18y=18$
$y=1,x=2$
Якщо $t=-\frac{1}{5}$:
$\frac{x+3y}{x-y}=-\frac{1}{5}$
$5(x+3y)=-(x-y)$
$5x+15y=-x+y$
$6x+14y=0$
$x=-\frac{7y}{3}$.
$\begin{cases} x=-\frac{7y}{3} \\ 5x+8y=18 \end{cases}$
$5\cdot\left(-\frac{7y}{3} \right)+8y=18$
$-\frac{35y}{3}+\frac{24y}{3}=$
$=18 \Rightarrow-\frac{11y}{3}=18$
$y=-\frac{54}{11},x=\frac{126}{11}$
Отже, $(2;1)$, $\left( \frac{126}{11};-\frac{54}{11} \right)$ — розв’язки системи.