Завдання № 63

№ 63 ВПР 2 Алгебра = № 25 ВПТ 6 Математика

Розв’яжіть систему рівнянь:

$\begin{cases} x+y+\frac{x}{y}=11 \\ \frac{x}{y}(x+y)=24 \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{x+3y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3y}=\frac{24}{5} \\ 5x+8y=18 \end{cases}$

Нехай $x+y=t$, $\frac{x}{y}=v$, тоді

$\begin{cases} t+v=11 \\ v\cdot t=24 \end{cases}$

$\begin{cases} v=11-t \\ (11-t)\cdot t=24 \end{cases}$

$t^{2}-11t+24=0$

$t_{1}=8$, $t_{2}=3$.

Повертаємося до змінних $x$ та $y$.

Якщо $t=8$, то $v=11-8=3$:

$\begin{cases} x+y=8 \\ \frac{x}{y}=3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y=8-x \\ x=3(8-x) \end{cases}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{cases} y=8-x \\ x=24-3x \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x=6 \\ y=2 \end{cases}$

Якщо $t=3$, то $v=11-3=8$:

$\begin{cases} x+y=3 \\ \frac{x}{y}=8 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y=3-x \\ x=8(3-x) \end{cases}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{cases} y=3-x \\ x=24-8x \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x=2\frac{2}{3} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$

Отже, $(6;2)$, $\left( 2\frac{2}{3};\frac{1}{3} \right)$ — розв’язки системи.

Нехай $\frac{x+3y}{x-y}=t$, тоді $\frac{x-y}{x+3y}=\frac{1}{t}$.

$t-\frac{1}{t}=\frac{24}{5}$

$5t^{2}-24t-5=0$

$D=576+100=676$;

$t_{1}=\frac{24+26}{10}=5$, $t_{2}=\frac{24-26}{10}=-\frac{1}{5}$.

Якщо $t=5$, то:

$x+3y=5(x-y);$

$4x=8y,\ x=2y.$

Підставимо $x=2y$ у друге рівняння системи:

$5\cdot2y+8y=18;$

$18y=18,\ y=1,\ x=2.$

Якщо $t=-\frac{1}{5}$, то:

$5(x+3y)=-(x-y);$

$5x+15y=-x+y;$

$6x=-14y,\ x=-\frac{7y}{3}.$

Підставимо $x=-\frac{7y}{3}$ у друге рівняння системи:

$-\frac{35y}{3}+8y=18;$

$-\frac{11y}{3}=18,\ y=-\frac{54}{11};$

$x=-\frac{7}{3}\cdot\left(-\frac{54}{11} \right)=\frac{126}{11}.$

Отже, $(2;1)$, $\left( \frac{126}{11};-\frac{54}{11} \right)$ — розв’язки системи.

1) $(6;2)$, $\left( 2\frac{2}{3};\frac{1}{3} \right)$;

2) $(2;1)$, $\left( \frac{126}{11};-\frac{54}{11} \right)$.