№ 69 ВПР 2 Алгебра = № 31 ВПТ 6 Математика
Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює $41$ см$^{2}$, а площа трикутника — $10$ см$^{2}$. Знайдіть катети трикутника.
Розв’язок:
Нехай $x$ і $y$ — катети прямокутного трикутника, тоді:
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=41 \\ \frac{1}{2}x\cdot y=10 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=41 \\ x\cdot y=20 \end{cases}$
$\begin{cases} y=\frac{20}{x} \\ x^{2}+(\frac{20}{x})^{2}=41 \end{cases}$
$\begin{cases} y=\frac{20}{x} \\ x^{4}-41x^{2}+400=0 \end{cases}$
Нехай $x^{2}=t$, тоді $t^{2}-41t+400=0$.
$t_{1}=25$, $t_{2}=16$.
$x^{2}=25$; $x=\pm5$; $-5$ не задовольняє умови задачі.
$x^{2}=16$; $x=\pm4$; $-4$ не задовольняє умови задачі.
Якщо $x=5$, $y=\frac{20}{5}=4$; якщо $x=4$, $y=\frac{20}{4}=5$.
Відповідь:
$4$ см, $5$ см.