№ 75 ВПР 2 Алгебра = № 37 ВПТ 6 Математика
Яке двоцифрове число на 4 менше від суми квадратів його цифр і на 5 більше за їх подвоєний добуток?
Розв’язок:
Нехай $10a+b$ — двоцифрове число, тоді:
$\begin{cases} 10a+b+4=a^{2}+b^{2} \\ 10a+b-5=2ab \end{cases}$
$a^{2}+b^{2}-2ab=9$
$(a-b)^{2}=9$
$a-b=3$
або
$a-b=-3$
$a=b-3$
Якщо $a=b+3$, тоді:
$10(b+3)+b+4=$
$=(b+3)^{2}+b^{2}$
$11b+34=b^{2}+6b+9+b^{2}$
$2b^{2}-5b-25=0$
$D=25+4\cdot2\cdot25=225$
$b_{1}=\frac{5+15}{4}=5$
$b_{2}=\frac{5-15}{4}=-\frac{10}{4}$
(не натуральне число).
$a=b+3=5+3=8$. Отже, задане двоцифрове число $85$.
Якщо $a=b-3$, тоді:
$10(b-3)+b+4=$
$=(b-3)^{2}+b^{2}$
$10b-30+b+4=$
$=b^{2}-6b+9+b^{2}$
$11b-26=2b^{2}-6b+9$
$2b^{2}-17b+35=0$
$D=289-4\cdot2\cdot35=$
$=289-280=9$
$b_{1}=\frac{17+3}{4}=5$
$b_{2}=\frac{17-3}{4}=\frac{14}{4}=3{,}5$
(не натуральне число).
$a=b-3=5-3=2$. Отже, задане двоцифрове число $25$.
Перевірка для $25$: $25+4=29=4+25=2^{2}+5^{2}$ ✓; $25-5=20=2\cdot2\cdot5$ ✓.
Відповідь:
$25$ або $85$.