№ 15.15 Алгебра = № 32.15 Математика
Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою $n$-го члена:
1) $a_{n}=26-n^{2}$;
2) $b_{n}=-2n^{2}+16n$;
3) $c_{n}=(-1)^{n}$;
4) $y_{n}=-n^{2}+5n$.
Розв’язок:
1) $a_{n}=26-n^{2}$;
$a_{1}=26-1=25$;
$a_{2}=26-4=22$;
$a_{3}=26-9=17$; …
Зі збільшенням $n$ значення $n^{2}$ збільшується, тому кожен наступний член послідовності менший за попередній.
Отже, найбільший член — $a_{1}=25$.
2) $b_{n}=-2n^{2}+16n$.
Графіком функції $f(x)=-2x^{2}+16x$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз.
Абсциса її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{16}{2\cdot(-2)}=4.$
Оскільки $4$ — натуральне число, то найбільший член послідовності — $b_{4}$:
$b_{4}=-2\cdot4^{2}+16\cdot4=$
$=-32+64=32.$
3) $c_{n}=(-1)^{n}$.
Якщо $n$ — непарне число, то $c_{n}=-1$; якщо $n$ — парне число, то $c_{n}=1$.
Отже, найбільший член $c_{2k}=1$, де $k$ — натуральне число.
4) $y_{n}=-n^{2}+5n$.
Графіком функції $f(x)=-x^{2}+5x$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз.
Абсциса її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{5}{2\cdot(-1)}=2{,}5.$
Функція зростає на проміжку $(-\infty;2{,}5\rbrack$ і спадає на проміжку $\lbrack 2{,}5;+\infty)$.
Тому найбільший член — $y_{2}$ або $y_{3}$:
$y_{2}=-4+10=6$;
$y_{3}=-9+15=6$.
Отже, найбільше значення мають два члени:
$y_{2}=y_{3}=6$.
Відповідь:
1) $a_{1}=25$; 2) $b_{4}=32$;
3) $c_{2k}=1$, де $k$ — натуральне число;
4) $y_{2}=y_{3}=6$.