№ 15.17 Алгебра = № 32.17 Математика
Доведіть, що послідовність $(p_{n})$, у якої $p_{n}=2n^{2}+6n-5$, не містить найбільшого члена, а послідовність $(t_{n})$, у якої $t_{n}=-n^{2}-4n$, не містить найменшого члена.
Розв’язок:
1) Розглянемо послідовність $p_{n}=2n^{2}+6n-5$, де $n\mathbb{\in N}$.
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ($2>0$), графіком функції $f(x)=2x^{2}+6x-5$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору.
Абсциса її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{6}{2\cdot2}=-1{,}5.$
Отже, функція зростає на проміжку $\lbrack-1{,}5;+\infty)$.
Оскільки $n\geq1$, послідовність є зростаючою. У зростаючої послідовності немає найбільшого члена, бо для будь-якого члена $p_{n}$ завжди знайдеться наступний член $p_{n+1}$, який більший за нього.
2) Розглянемо послідовність $t_{n}=-n^{2}-4n$, де $n\mathbb{\in N}$.
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від’ємний ($-1<0$), графіком функції $g(x)=-x^{2}-4x$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз.
Абсциса її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{-4}{2\cdot(-1)}=-2.$
Отже, функція спадає на проміжку $\lbrack-2;+\infty)$.
Оскільки $n\geq1$, послідовність є спадною. У спадної послідовності немає найменшого члена, бо для будь-якого члена $t_{n}$ завжди знайдеться наступний член $t_{n+1}$, який менший за нього.