№ 15.20 Алгебра = № 32.20 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} x^{2}-2xy+y^{2}=4, \\ xy+y^{2}=4. \end{cases}$
Розв’язок:
$\begin{cases} (x-y)^{2}=4, \\ y(x+y)=4. \end{cases}$
$\begin{cases} x-y=\pm2, \\ y(x+y)=4. \end{cases}$
1)
$\begin{cases} x-y=2, \\ y(x+y)=4; \end{cases}\ \begin{cases} x=2+y, \\ y(2+y+y)=4; \end{cases}\ \begin{cases} x=2+y, \\ 2y^{2}+2y-4=0; \end{cases}\ \begin{cases} x=2+y, \\ y^{2}+y-2=0. \end{cases}$
Корені рівняння $y^{2}+y-2=0$: $y_{1}=-2$, $y_{2}=1$.
Якщо $y_{1}=-2$, то $x_{1}=2+(-2)=0$.
Якщо $y_{2}=1$, то $x_{2}=2+1=3$.
Отже, $(0;-2)$, $(3;1)$.
2)
$\begin{cases} x-y=-2, \\ y(x+y)=4; \end{cases}\ \begin{cases} x=y-2, \\ y(y-2+y)=4; \end{cases}\ \begin{cases} x=y-2, \\ 2y^{2}-2y-4=0; \end{cases}\ \begin{cases} x=y-2, \\ y^{2}-y-2=0. \end{cases}$
Корені рівняння $y^{2}-y-2=0$: $y_{1}=2$, $y_{2}=-1$.
Якщо $y_{1}=2$, то $x_{1}=2-2=0$.
Якщо $y_{2}=-1$, то $x_{2}=-1-2=-3$.
Отже, $(0;2)$, $(-3;-1)$.
Відповідь:
$(0;2)$, $(0;-2)$, $(3;1)$, $(-3;-1)$.