№ 16.31 Алгебра = № 33.31 Математика
За якого значення $m$ числа $m^{2}-4$, $m$, $2m+3$ і $4m^{2}+5$ є послідовними членами арифметичної прогресії?
Розв’язок:
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії, кожен член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх:
$2b_{2}=b_{1}+b_{3}$
$2b_{3}=b_{2}+b_{4}$
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} 2m=(m^{2}-4)+(2m+3) \\ 2(2m+3)=m+(4m^{2}+5) \end{cases}$
Спростимо рівняння:
$\begin{cases} 2m=m^{2}+2m-1 \\ 4m+6=4m^{2}+m+5 \end{cases}$
$\begin{cases} m^{2}=1 \\ 4m^{2}-3m-1=0 \end{cases}$
З першого рівняння $m=1$ або $m=-1$.
Перевіримо ці значення у другому рівнянні:
Якщо $m=1$: $4(1)^{2}-3(1)-1=$
$=4-3-1=0$ (підходить).
Якщо $m=-1$: $4(-1)^{2}-3(-1)-1=$
$=4+3-1=6\neq0$ (не підходить).
Отже, при $m=1$ задані числа є членами арифметичної прогресії.
Відповідь:
$m=1$.