№ 17.13 Алгебра = № 34.13 Математика
Знайдіть суму:
1) усіх натуральних чисел від $125$ до $317$ включно;
2) усіх натуральних чисел, які кратні числу $5$ і не більші за число $350$;
3) усіх натуральних чисел, які кратні числу $9$ і не перевищують числа $470$;
4) усіх двоцифрових натуральних чисел, які при діленні на $3$ дають в остачі $2$.
Розв’язок:
1) Натуральні числа від $125$ до $317$ утворюють арифметичну прогресію.
Знайдемо номер члена арифметичної прогресії, який дорівнює $317$:
$317=125+(n-1)\cdot1$
$n=317-125+1=193$
Отже,
$S_{193}=\frac{125+317}{2}\cdot193=$
$=\frac{442}{2}\cdot193=221\cdot193=$
$=42653$
2) Натуральні числа, які кратні $5$, утворюють арифметичну прогресію $5{,}10{,}15,\ldots$, яку можна задати формулою $a_{n}=5n$. Знайдемо скільки членів цієї прогресії не перевищує $350$:
$5n\leq350$
$n\leq70$
$a_{1}=5$
$a_{70}=5\cdot70=350$
Тоді
$S_{70}=\frac{5+350}{2}\cdot70=$
$=\frac{355}{2}\cdot70=355\cdot35=$
$=12425$
3) Натуральні числа, які кратні $9$, утворюють арифметичну прогресію $9{,}18{,}27,\ldots$, яку можна задати формулою $a_{n}=9n$. Знайдемо скільки членів цієї прогресії не перевищують $470$:
$9n\leq470$
$n\leq52\frac{2}{9}$
Отже, $52$ члена прогресії не перевищують $470$. Знайдемо їх суму:
$a_{1}=9$
$a_{52}=9\cdot52=468$
$S_{52}=\frac{9+468}{2}\cdot52=$
$=\frac{477}{2}\cdot52=477\cdot26=$
$=12402$
4) Натуральні двоцифрові числа, які при діленні на $3$ дають остачу $2$, утворюють арифметичну прогресію $11{,}14{,}17,\ldots$, яку можна задати формулою $a_{n}=11+(n-1)\cdot3=11+3n-3=8+3n$. Знайдемо скільки членів цієї прогресії не перевищує $99$:
$3n+8\leq99$
$3n\leq91$
$n\leq30\frac{1}{3}$
Отже, $30$ членів прогресії не перевищують $99$.
$a_{1}=11$
$a_{30}=8+3\cdot30=98$
$S_{30}=\frac{11+98}{2}\cdot30=$
$=\frac{109}{2}\cdot30=109\cdot15=$
$=1635$
Відповідь:
1) $42653$;
2) $12425$;
3) $12402$;
4) $1635$.