№ 17.14 Алгебра = № 34.14 Математика
Знайдіть суму:
1) усіх натуральних чисел, які кратні числу $7$ і не перевищують числа $420$;
2) усіх трицифрових натуральних чисел, які при діленні на $4$ дають в остачі $1$.
Розв’язок:
1) Натуральні числа, які кратні числу $7$ і не перевищують $420$, утворюють арифметичну прогресію $7$; $14$; $21$; …, яку можна задати формулою $a_{n}=7n$. Знайдемо, скільки членів цієї прогресії не перевищують $420$:
$7n\leq420$
$n\leq60$
$a_{1}=7$, $a_{60}=7\cdot60=420$
$S_{60}=\frac{a_{1}+a_{60}}{2}\cdot60=$
$=\frac{7+420}{2}\cdot60=12810$
2) Натуральні трицифрові числа, які при діленні на $4$ дають остачу $1$, утворюють арифметичну прогресію $101$; $105$; $109$; …, яку можна задати формулою:
$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot4=$
$=101+4n-4=97+4n$
Знайдемо, скільки членів прогресії не перевищують $999$:
$97+4n\leq999$
$4n\leq999-97$
$4n\leq902$
$n\leq225{,}5$
Отже, $n=225$.
$a_{1}=101$, $a_{225}=97+4\cdot225=997$
$S_{225}=\frac{101+997}{2}\cdot225=$
$=\frac{1098}{2}\cdot225=549\cdot225=$
$=123525$
Відповідь:
1) $12810$; 2) $123525$.